作者Rasin (雷森)
看板Math
标题[代数] 这不等式有人证过了吗
时间Wed Sep 30 17:06:46 2020
强者我朋友
在处理赌博期望估计的时候发现的一个不等式
P1*a + P2*b >= a^P1 * b^P2 ...P1+P2=1; a>0,b>0
若P1=P2就会变成算几不等式
赌博上还满好用的 不知道有没有人证过了?
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※ 编辑: Rasin (1.168.112.84 台湾), 09/30/2020 17:07:50
1F：推 LPH66 : 令随机变数 X 有 p1 机率为 a, p2 机率为 b 09/30 17:19
2F：→ LPH66 : 则原式可变形为 ln(E[X]) >= E[ln(X)] 09/30 17:20
3F：→ LPH66 : 查了一下好像可以用 Jensen's inequality 反着用 09/30 17:22
4F：推 cuylerLin : convex combination, Jensen's inequality 09/30 17:22
5F：→ LPH66 : (还是直接用? 我有点不确定方向 @@) 09/30 17:22
6F：→ Ricestone : 对指数函数用Jensen不等式 09/30 17:24
7F：→ Rasin : 原本是打算转成够多个实数相加 变成N项算几不等 09/30 17:33
8F：→ Rasin : 但是P是无理数循环小数稍微麻烦 所以问看看这种 09/30 17:35
9F：→ Rasin : 东西可能有人证过或发现过了 09/30 17:36
10F：推 Vulpix : 这就是算几不等式啊。 09/30 18:27
11F：推 Vulpix : 考虑k平均 f(k)=(P1*a^k+P2*b^k)^(1/k) 09/30 18:33
12F：→ Vulpix : 容易验证 f(k) 递增，而且 f(k)→a^P1*b^P2 as k→0 09/30 18:34
13F：→ Rasin : 感谢线索 我再重整写看看 09/30 20:05
14F：推 giraffe1021 : 这就是weighted am-gm inequality 维基上有介绍 10/01 01:58
15F：→ TimcApple : 设 f(x) = xa + (1-x)b - a^x b^(1-x) on (0,1) 10/01 10:28
16F：→ TimcApple : 当 x 为有理数时 f(x) >= 0, 且 f 显然连续 10/01 10:29
17F：→ TimcApple : 因此对所有 x in (0, 1), 皆有 f(x) >= 0 10/01 10:29
18F：推 THEJOY : Young's inequality? 10/01 16:37
19F：→ Rasin : 杨应该是最直接的 10/01 19:10
20F：→ Rasin : 赌博上会跟均值不等扯上边还满有意思的 10/01 19:12
21F：→ Rasin : 还有一个有点意思 赌局水位就是调和均值 10/01 19:13
22F：→ Rasin : 无聊有兴趣可以打发一下时间 10/01 19:15
23F：推 Vulpix : 双人是，三人赌博也是吗？ 10/01 19:53
24F：→ Rasin : 原题吗还是水位问题 10/01 20:10
25F：→ Rasin : 原题对Pi都成立 水位调和中项会是所有可能的支付率 10/01 20:12
26F：→ Rasin : 总和 /n就是各别平均支付率 10/01 20:13
28F：→ Rasin : 调和平均=14/(1/4.25+1/7+...+1/7)=7.716 10/01 20:17
29F：→ Rasin : 支付率=0.55, 返还(投报)率=支付率-1=-0.45 10/01 20:19
30F：→ Rasin : 支付率=机率*赔率=期望值每单位资金 10/01 20:21
31F：→ Rasin : 单位资金期望值 10/01 20:21
32F：→ erre : 快点丢到arxiv插旗 10/03 14:51
33F：→ Rasin : 杨都已经证明出来了没什麽好投的 10/03 22:06
34F：→ Rasin : 有兴趣的大大可以试试证明套到五大均值不等 10/03 22:16
35F：→ Rasin : 有兴趣可以拿来改写半凯利投个小期刊 10/03 22:20