作者pennyleo (今朝有酒今朝醉)
看板Math
標題[線代] 想問兩矩陣相乘
時間Wed Sep 23 23:19:10 2020
想問
一個未知的NxN的矩陣A，再乘上自己後，
得到一已知的NxN矩陣B
在A有N平方個未知數，而對應到已知的B，可以寫出N平方個方程式
但此時A的解卻不是唯一的
想問一下，是存在哪些相依的條件？
謝謝
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1F：→ hwanger : ???for all i,j, Σa_{ik}*a_{kj}=b_{ij} 共n^2個式 09/24 00:29
2F：→ hwanger : 子 原PO是想要這個? 09/24 00:29
3F：推 Vulpix : 化成canonical form來看吧，不然個別研究太辛苦了。 09/24 00:37
4F：→ Vulpix : 然後弄完以後就是每個矩陣的orbit有多大的問題了。 09/24 00:38
5F：→ hwanger : ??? 我個人覺得用成canonical form幫助不大 雖然B可 09/24 00:48
6F：→ hwanger : 以用成和A差不多的結構 但那也是假定有A的情況 冏 09/24 00:49
7F：→ hwanger : 譬如說A和A'都是三維空間中不同平面的鏡射 但 09/24 00:51
8F：→ hwanger : A^2=A'^2=I 也就是說就算只看Σa_{ik}a_{kj}=δ_ij 09/24 00:53
9F：→ hwanger : 其代數幾何的結構就已經很複雜了 冏 09/24 00:54
10F：→ hwanger : 嗯 我錯了 用成Jordan form可以縮減一些size 不過情 09/24 00:59
11F：→ hwanger : 況還是很異常複雜才對 09/24 01:00
12F：→ hwanger : 話說X^2=B有沒有解都值得大篇幅討論了(的確存在B使 09/24 01:38
13F：→ hwanger : 得該式無解) 冏 09/24 01:38
14F：→ hwanger : 或許原po可以加一些條件在B上 09/24 01:38
15F：推 LPH66 : 原 PO 的問題感覺像是「我有 N^2 個未知數的 N^2 個 09/24 02:47
16F：→ LPH66 : 式子, 怎麼會有多解狀況？」 09/24 02:47
17F：→ LPH66 : 如果只是這樣單純的問題的話, 注意到這 N^2 個式子 09/24 02:48
18F：→ LPH66 : 並不是這 N^2 個變數的一次方程式, 而是二次方程式 09/24 02:48
19F：→ LPH66 : 一個極端狀況: 一條一元二次方程式也會有 0 1 2 解 09/24 02:49
20F：→ LPH66 : 因此並不是哪些式子有相依 (這種討論只有一次方程 09/24 02:50
21F：→ LPH66 : 才能使用) 而是因為式子本身是高次方程 09/24 02:50
22F：→ LPH66 : 我上三行提的一條一元二次方程式的狀況也有矩陣對應 09/24 02:53
23F：→ LPH66 : 原 PO 可以思考一下這個對應和你原來問題之間的關連 09/24 02:54
24F：→ hwanger : 若如L大所言 那原PO應該考慮的是解集合的維度 而非 09/24 11:14
25F：→ hwanger : 解的個數 你有n^2條等式 那就應該用微分幾何或代數 09/24 11:16
26F：→ hwanger : 數何的手法去看解空間 對於大部份良好的B 解空間的 09/24 11:17
27F：→ hwanger : 確是0維的 (一堆零散點也是0維空間) 09/24 11:18
28F：→ hwanger : 離 09/24 11:19
29F：推 Vulpix : 準確地說，對那些良好的B，解空間總共有2^N個點。 09/24 16:23
30F：→ Vulpix : 而找到那些解的方法就是對角化，然後這些夠好的B的 09/24 16:24
31F：→ Vulpix : 所有本徵值都相異，每個數字開根號後都有兩種可能， 09/24 16:24
32F：→ Vulpix : 所以有2^N個解。 09/24 16:25
33F：推 Vulpix : 啊，還要可逆才夠「良好」。 09/24 17:12
34F：推 hwanger : 推V大 09/24 20:06
35F：推 chemmachine : 用牛頓二項式在分數次的推廣 09/25 13:04
36F：→ chemmachine : A^(1/2)=(I+A-I)^(1/2)=1+1/2(A-I)+1/2(1/2-1)/2!* 09/25 13:07
37F：→ chemmachine : (A-I)^2+1/2*(1/2-1)*(1/2-2)/3!(A-I)^3可求逼近解 09/25 13:07
39F：→ chemmachine : 如果是可對角化矩陣，高中有教。或丹曼-畢福斯疊代 09/25 13:11
40F：推 chemmachine : 如果A化為JORDAN 標準形式，對於每個小JORDAN BLOCK 09/25 13:31
41F：→ chemmachine : 可以開根號，尤其是特徵值為正的。因為J=tI+N 09/25 13:33
42F：→ chemmachine : N為冪零矩陣 I為單位矩陣 09/25 13:34
43F：→ chemmachine : 特徵負的考慮複數域也可以處理 09/25 13:34
45F：推 Vulpix : 特徵值是0又不是1*1的block就開不了根號了。 09/25 15:06
46F：推 chemmachine : 特徵值是0的話就用二項式展開逼近看看結果。看維基 09/25 23:36
47F：→ chemmachine : 百科應該沒有完善的通解，只有逼近法和特徵值不為零 09/25 23:36
48F：→ chemmachine : 的公式解。 09/25 23:36
49F：→ chemmachine : 如果有通解也不用逼近法了。 09/25 23:36
50F：→ chemmachine : 推vul大 09/25 23:37
51F：推 chemmachine : 原po問的是好問題，所以才有這個維基條目。 09/25 23:38
52F：推 chemmachine : 再給出另一方法，由det(A-tI)計算caleyhamilton 方 09/26 00:12
53F：→ chemmachine : 程式，將caley -hamilton兩邊同乘以A^-1/2次，再將A 09/26 00:12
54F：→ chemmachine : 和A的-1次代入可得A^0.5次，這裡可看出singular 矩 09/26 00:12
55F：→ chemmachine : 陣會失效。 09/26 00:12
56F：推 chemmachine : 喔喔這個caley方法會自我消去，應該不行。 09/26 00:18