作者pennyleo (今朝有酒今朝醉)
看板Math
标题[线代] 想问两矩阵相乘
时间Wed Sep 23 23:19:10 2020
想问
一个未知的NxN的矩阵A，再乘上自己後，
得到一已知的NxN矩阵B
在A有N平方个未知数，而对应到已知的B，可以写出N平方个方程式
但此时A的解却不是唯一的
想问一下，是存在哪些相依的条件？
谢谢
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1F：→ hwanger : ???for all i,j, Σa_{ik}*a_{kj}=b_{ij} 共n^2个式 09/24 00:29
2F：→ hwanger : 子 原PO是想要这个? 09/24 00:29
3F：推 Vulpix : 化成canonical form来看吧，不然个别研究太辛苦了。 09/24 00:37
4F：→ Vulpix : 然後弄完以後就是每个矩阵的orbit有多大的问题了。 09/24 00:38
5F：→ hwanger : ??? 我个人觉得用成canonical form帮助不大 虽然B可 09/24 00:48
6F：→ hwanger : 以用成和A差不多的结构 但那也是假定有A的情况 冏 09/24 00:49
7F：→ hwanger : 譬如说A和A'都是三维空间中不同平面的镜射 但 09/24 00:51
8F：→ hwanger : A^2=A'^2=I 也就是说就算只看Σa_{ik}a_{kj}=δ_ij 09/24 00:53
9F：→ hwanger : 其代数几何的结构就已经很复杂了 冏 09/24 00:54
10F：→ hwanger : 嗯 我错了 用成Jordan form可以缩减一些size 不过情 09/24 00:59
11F：→ hwanger : 况还是很异常复杂才对 09/24 01:00
12F：→ hwanger : 话说X^2=B有没有解都值得大篇幅讨论了(的确存在B使 09/24 01:38
13F：→ hwanger : 得该式无解) 冏 09/24 01:38
14F：→ hwanger : 或许原po可以加一些条件在B上 09/24 01:38
15F：推 LPH66 : 原 PO 的问题感觉像是「我有 N^2 个未知数的 N^2 个 09/24 02:47
16F：→ LPH66 : 式子, 怎麽会有多解状况？」 09/24 02:47
17F：→ LPH66 : 如果只是这样单纯的问题的话, 注意到这 N^2 个式子 09/24 02:48
18F：→ LPH66 : 并不是这 N^2 个变数的一次方程式, 而是二次方程式 09/24 02:48
19F：→ LPH66 : 一个极端状况: 一条一元二次方程式也会有 0 1 2 解 09/24 02:49
20F：→ LPH66 : 因此并不是哪些式子有相依 (这种讨论只有一次方程 09/24 02:50
21F：→ LPH66 : 才能使用) 而是因为式子本身是高次方程 09/24 02:50
22F：→ LPH66 : 我上三行提的一条一元二次方程式的状况也有矩阵对应 09/24 02:53
23F：→ LPH66 : 原 PO 可以思考一下这个对应和你原来问题之间的关连 09/24 02:54
24F：→ hwanger : 若如L大所言 那原PO应该考虑的是解集合的维度 而非 09/24 11:14
25F：→ hwanger : 解的个数 你有n^2条等式 那就应该用微分几何或代数 09/24 11:16
26F：→ hwanger : 数何的手法去看解空间 对於大部份良好的B 解空间的 09/24 11:17
27F：→ hwanger : 确是0维的 (一堆零散点也是0维空间) 09/24 11:18
28F：→ hwanger : 离 09/24 11:19
29F：推 Vulpix : 准确地说，对那些良好的B，解空间总共有2^N个点。 09/24 16:23
30F：→ Vulpix : 而找到那些解的方法就是对角化，然後这些够好的B的 09/24 16:24
31F：→ Vulpix : 所有本徵值都相异，每个数字开根号後都有两种可能， 09/24 16:24
32F：→ Vulpix : 所以有2^N个解。 09/24 16:25
33F：推 Vulpix : 啊，还要可逆才够「良好」。 09/24 17:12
34F：推 hwanger : 推V大 09/24 20:06
35F：推 chemmachine : 用牛顿二项式在分数次的推广 09/25 13:04
36F：→ chemmachine : A^(1/2)=(I+A-I)^(1/2)=1+1/2(A-I)+1/2(1/2-1)/2!* 09/25 13:07
37F：→ chemmachine : (A-I)^2+1/2*(1/2-1)*(1/2-2)/3!(A-I)^3可求逼近解 09/25 13:07
39F：→ chemmachine : 如果是可对角化矩阵，高中有教。或丹曼-毕福斯叠代 09/25 13:11
40F：推 chemmachine : 如果A化为JORDAN 标准形式，对於每个小JORDAN BLOCK 09/25 13:31
41F：→ chemmachine : 可以开根号，尤其是特徵值为正的。因为J=tI+N 09/25 13:33
42F：→ chemmachine : N为幂零矩阵 I为单位矩阵 09/25 13:34
43F：→ chemmachine : 特徵负的考虑复数域也可以处理 09/25 13:34
45F：推 Vulpix : 特徵值是0又不是1*1的block就开不了根号了。 09/25 15:06
46F：推 chemmachine : 特徵值是0的话就用二项式展开逼近看看结果。看维基 09/25 23:36
47F：→ chemmachine : 百科应该没有完善的通解，只有逼近法和特徵值不为零 09/25 23:36
48F：→ chemmachine : 的公式解。 09/25 23:36
49F：→ chemmachine : 如果有通解也不用逼近法了。 09/25 23:36
50F：→ chemmachine : 推vul大 09/25 23:37
51F：推 chemmachine : 原po问的是好问题，所以才有这个维基条目。 09/25 23:38
52F：推 chemmachine : 再给出另一方法，由det(A-tI)计算caleyhamilton 方 09/26 00:12
53F：→ chemmachine : 程式，将caley -hamilton两边同乘以A^-1/2次，再将A 09/26 00:12
54F：→ chemmachine : 和A的-1次代入可得A^0.5次，这里可看出singular 矩 09/26 00:12
55F：→ chemmachine : 阵会失效。 09/26 00:12
56F：推 chemmachine : 喔喔这个caley方法会自我消去，应该不行。 09/26 00:18