作者hanabiz (等天放晴 到大溪地)
看板Math
標題[微積] 冪級數
時間Mon Sep 21 20:37:41 2020
https://imgur.com/h6tgCX4
似乎是問冪級數和泰勒級數的關聯
想了很久 仍不知怎麼做
麻煩大大幫忙給些想法
謝謝
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1F：→ hwanger : 左邊是等比級數 所以左式=1/(1+x^2)在(0,1)內 09/21 20:56
2F：→ hwanger : 假設1/(1+x^2)在3展開為Σb_n(x-3)^n 因為 09/21 20:58
3F：→ hwanger : Σb_n(x-3)^n=Σa_n(x-3)^n對所有x在(0,1)上 所以 09/21 20:59
4F：→ hwanger : a_n=b_n 也就是只要考慮1/(1+x^2)在3展開就好 09/21 21:00
5F：→ hwanger : 如果允許用複變知識的話 因為1/(1+x^2)在正負i有 09/21 21:02
6F：→ hwanger : singularity 所以lim sup就是3和正負i的距離√10 09/21 21:04
7F：→ hwanger : 若不用複變知識 令y=x-3 則1/(1+x^2)=1/(y^2+6y+10) 09/21 21:17
8F：→ hwanger : 解1/(y^2+6y+10)=Σa_n*y^n得a0=1/10 a1=3/50 及 09/21 21:19
9F：→ hwanger : a_n+6*a_{n+1}+10*a_{n+2}=0 for all n=0,1,2,3,... 09/21 21:20
10F：→ hwanger : 打錯 a1=-3/50 09/21 21:28
11F：→ hwanger : 冏 不用複變知識的我再想想 09/21 21:38
12F：→ hwanger : 首先 lim sup要是收斂半徑的倒數 所以上面應修正為 09/21 21:43
13F：→ hwanger : lim sup part = 1/√10 09/21 21:45
14F：→ hwanger : 接著 下圖接續不用複變知識的部份 09/21 22:14
16F：→ hwanger : 圖中有一個小缺陷 我們不只要要求a不等於b 我們更要 09/21 22:19
17F：→ hwanger : |a|不等於|b|才對 09/21 22:19
18F：→ hwanger : 冏 |a|的確等於|b| 所以必須改寫圖中倒數第三個式子 09/21 22:41
19F：→ hwanger : 並證明 "lim sup"為1才對 09/21 22:42
20F：→ hwanger : 下圖重新修正前一張圖的錯誤 09/21 23:24
22F：推 hwanger : 犯蠢了 直接考慮1/(1+x^2)= 09/22 01:14
23F：→ hwanger : (1/2i)*{1/(x-i) - 1/(x+i)}對3展開就好了 不用考慮 09/22 01:14
24F：→ hwanger : 遞迴式 09/22 01:14
25F：→ hwanger : 因為展開時是用等比級數的公式 很容易就可以看出收 09/22 01:17
26F：→ hwanger : 斂半徑是√10 09/22 01:17
27F：→ hwanger : 下圖是用等比級數而不用遞迴式 09/22 09:23
29F：→ hanabiz : 太感謝了…… 09/22 12:03