作者hanabiz (等天放晴 到大溪地)
看板Math
标题[微积] 幂级数
时间Mon Sep 21 20:37:41 2020
https://imgur.com/h6tgCX4
似乎是问幂级数和泰勒级数的关联
想了很久 仍不知怎麽做
麻烦大大帮忙给些想法
谢谢
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1F：→ hwanger : 左边是等比级数 所以左式=1/(1+x^2)在(0,1)内 09/21 20:56
2F：→ hwanger : 假设1/(1+x^2)在3展开为Σb_n(x-3)^n 因为 09/21 20:58
3F：→ hwanger : Σb_n(x-3)^n=Σa_n(x-3)^n对所有x在(0,1)上 所以 09/21 20:59
4F：→ hwanger : a_n=b_n 也就是只要考虑1/(1+x^2)在3展开就好 09/21 21:00
5F：→ hwanger : 如果允许用复变知识的话 因为1/(1+x^2)在正负i有 09/21 21:02
6F：→ hwanger : singularity 所以lim sup就是3和正负i的距离√10 09/21 21:04
7F：→ hwanger : 若不用复变知识 令y=x-3 则1/(1+x^2)=1/(y^2+6y+10) 09/21 21:17
8F：→ hwanger : 解1/(y^2+6y+10)=Σa_n*y^n得a0=1/10 a1=3/50 及 09/21 21:19
9F：→ hwanger : a_n+6*a_{n+1}+10*a_{n+2}=0 for all n=0,1,2,3,... 09/21 21:20
10F：→ hwanger : 打错 a1=-3/50 09/21 21:28
11F：→ hwanger : 冏 不用复变知识的我再想想 09/21 21:38
12F：→ hwanger : 首先 lim sup要是收敛半径的倒数 所以上面应修正为 09/21 21:43
13F：→ hwanger : lim sup part = 1/√10 09/21 21:45
14F：→ hwanger : 接着 下图接续不用复变知识的部份 09/21 22:14
16F：→ hwanger : 图中有一个小缺陷 我们不只要要求a不等於b 我们更要 09/21 22:19
17F：→ hwanger : |a|不等於|b|才对 09/21 22:19
18F：→ hwanger : 冏 |a|的确等於|b| 所以必须改写图中倒数第三个式子 09/21 22:41
19F：→ hwanger : 并证明 "lim sup"为1才对 09/21 22:42
20F：→ hwanger : 下图重新修正前一张图的错误 09/21 23:24
22F：推 hwanger : 犯蠢了 直接考虑1/(1+x^2)= 09/22 01:14
23F：→ hwanger : (1/2i)*{1/(x-i) - 1/(x+i)}对3展开就好了 不用考虑 09/22 01:14
24F：→ hwanger : 递回式 09/22 01:14
25F：→ hwanger : 因为展开时是用等比级数的公式 很容易就可以看出收 09/22 01:17
26F：→ hwanger : 敛半径是√10 09/22 01:17
27F：→ hwanger : 下图是用等比级数而不用递回式 09/22 09:23
29F：→ hanabiz : 太感谢了…… 09/22 12:03