作者yagerbomb (ㄅD)
看板Math
標題[線代] LU分解唯一性
時間Tue Sep 15 20:14:34 2020
看了這篇 ：
https://ccjou.wordpress.com/2010/09/01/lu-%E5%88%86%E8%A7%A3/
裡面唯一性那個部分假設U對角線皆非零，也就是A可逆，然後才有後面的推導
但是A不可逆的時候沒講（此時U不可逆，沒辦法做跟他類似的推導）
那不可逆的時候，LU分解就不唯一嗎？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.98 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1600172076.A.774.html
1F：推 cuylerLin : The LU decomposition of a singular matrix will e 09/15 20:36
2F：→ cuylerLin : ventually fail since no partial pivoting can res 09/15 20:36
3F：→ cuylerLin : olve the fact that there will always be some zer 09/15 20:36
意思是LU分解定義上U對角線必須不等於0 但LDU分解沒有規定U的對角線嗎？
4F：→ cuylerLin : o at the diagonal. Try consider LDU decompositio 09/15 20:36
5F：→ cuylerLin : n instead. 09/15 20:36
※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:51:06
7F：→ yagerbomb : 以此題為例，他的U對角項有0 ，我貼的網址他也是用L 09/15 20:53
8F：→ yagerbomb : DU去證明，但他假設U對角項不是0 09/15 20:53
9F：推 cuylerLin : 我沒記錯的話LDU的時候L跟U的對角線都是1，然後允許 09/15 20:54
10F：→ cuylerLin : D的對角線出現0， 所以你可以一眼就看出這個系統的 09/15 20:54
好像合理欸 我把U右下角那格放1 也不影響結果，但這樣變成他跟LU的U不是同一個U
11F：→ cuylerLin : solvability 09/15 20:54
所以結論是LU分解必須對角線都非0 然後U出現0就要改LDV 故意把U原本是0的對角項塞成1？
12F：→ yagerbomb : 我查不太到對U的限制，好像網路上都沒怎麼討論 09/15 20:56
※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:58:19
※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:59:37
13F：推 cuylerLin : 應該說，一般來說無法保證LU的的唯一性，只能說在夠 09/15 21:09
14F：→ cuylerLin : 好的A（且 up to suitable partial pivoting）的時 09/15 21:09
15F：→ cuylerLin : 候，LU 基本上是唯一的（provided that L 或 U 的對 09/15 21:09
16F：→ cuylerLin : 角線都是 1）；而如果考慮 LDU 分解的話，基本上可 09/15 21:09
17F：→ cuylerLin : 以證明真的是唯一的，就無關這裡的 L 跟 U 跟 LDU 09/15 21:09
18F：→ cuylerLin : 分解裡面的 L 跟 U 一不一樣了 09/15 21:09
19F：→ cuylerLin : 而且要先確認 LU 是不是 feasible 的話，還需要額外 09/15 21:15
20F：→ cuylerLin : 的步驟，倒不如直接考慮 LDU 這樣 09/15 21:15
21F：→ hwanger : 第一點 LU分解並沒有要求U的對角線非零 也沒有說如 09/15 21:39
22F：→ hwanger : 果A是singular LU分解就會失敗 09/15 21:40
23F：→ hwanger : LU分解對應到的矩陣處理是高斯消去法 所以你應該考 09/15 21:41
24F：→ hwanger : 慮的是高斯消去法何時可以在不換row的情況下做完 09/15 21:43
25F：→ hwanger : 這是有若且唯若的條件 不難查到 09/15 21:44
26F：→ hwanger : 第二點 你有LDU 就會有LU 因為DU就是上三角 09/15 21:44
27F：→ hwanger : 第三點 LDU在A是singular的時候 沒有唯一 見下圖 09/15 21:46
29F：→ hwanger : 至於原PO的問題 A不可逆時 LU分解就不一定唯一 如下 09/15 21:55
31F：→ hwanger : 另外證對於不可逆的A有唯一的LU分解(如果存在的話) 09/15 22:06
32F：→ hwanger : 根本不需要考慮LDU分解 假設A=L1*U1=L2*U2 09/15 22:07
33F：→ hwanger : 其中L1,L2主對角線都是1 則我們有 09/15 22:08
34F：→ hwanger : L2^{-1}*L1=U2*U1^{-1} 其中左邊主對角線都是1且為 09/15 22:10
35F：→ hwanger : 下三角 而右邊為上三角 所以兩邊是單位矩陣 09/15 22:11
36F：→ hwanger : 第四點 LDU分解誠如c大所述 L和U的主對角線都要是1 09/15 22:24
37F：→ hwanger : 但單純看solvability LU就可以看了(直接看U的對角線 09/15 22:25
38F：→ hwanger : 有沒有0即可 沒有0 則det(L)=1 det(U)不為0) 09/15 22:26
39F：→ yagerbomb : 感謝！！懂了 09/15 22:35