作者yagerbomb (ㄅD)
看板Math
标题[线代] LU分解唯一性
时间Tue Sep 15 20:14:34 2020
看了这篇 ：
https://ccjou.wordpress.com/2010/09/01/lu-%E5%88%86%E8%A7%A3/
里面唯一性那个部分假设U对角线皆非零，也就是A可逆，然後才有後面的推导
但是A不可逆的时候没讲（此时U不可逆，没办法做跟他类似的推导）
那不可逆的时候，LU分解就不唯一吗？
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.25.98 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1600172076.A.774.html
1F：推 cuylerLin : The LU decomposition of a singular matrix will e 09/15 20:36
2F：→ cuylerLin : ventually fail since no partial pivoting can res 09/15 20:36
3F：→ cuylerLin : olve the fact that there will always be some zer 09/15 20:36
意思是LU分解定义上U对角线必须不等於0 但LDU分解没有规定U的对角线吗？
4F：→ cuylerLin : o at the diagonal. Try consider LDU decompositio 09/15 20:36
5F：→ cuylerLin : n instead. 09/15 20:36
※ 编辑: yagerbomb (140.112.25.98 台湾), 09/15/2020 20:51:06
7F：→ yagerbomb : 以此题为例，他的U对角项有0 ，我贴的网址他也是用L 09/15 20:53
8F：→ yagerbomb : DU去证明，但他假设U对角项不是0 09/15 20:53
9F：推 cuylerLin : 我没记错的话LDU的时候L跟U的对角线都是1，然後允许 09/15 20:54
10F：→ cuylerLin : D的对角线出现0， 所以你可以一眼就看出这个系统的 09/15 20:54
好像合理欸 我把U右下角那格放1 也不影响结果，但这样变成他跟LU的U不是同一个U
11F：→ cuylerLin : solvability 09/15 20:54
所以结论是LU分解必须对角线都非0 然後U出现0就要改LDV 故意把U原本是0的对角项塞成1？
12F：→ yagerbomb : 我查不太到对U的限制，好像网路上都没怎麽讨论 09/15 20:56
※ 编辑: yagerbomb (140.112.25.98 台湾), 09/15/2020 20:58:19
※ 编辑: yagerbomb (140.112.25.98 台湾), 09/15/2020 20:59:37
13F：推 cuylerLin : 应该说，一般来说无法保证LU的的唯一性，只能说在够 09/15 21:09
14F：→ cuylerLin : 好的A（且 up to suitable partial pivoting）的时 09/15 21:09
15F：→ cuylerLin : 候，LU 基本上是唯一的（provided that L 或 U 的对 09/15 21:09
16F：→ cuylerLin : 角线都是 1）；而如果考虑 LDU 分解的话，基本上可 09/15 21:09
17F：→ cuylerLin : 以证明真的是唯一的，就无关这里的 L 跟 U 跟 LDU 09/15 21:09
18F：→ cuylerLin : 分解里面的 L 跟 U 一不一样了 09/15 21:09
19F：→ cuylerLin : 而且要先确认 LU 是不是 feasible 的话，还需要额外 09/15 21:15
20F：→ cuylerLin : 的步骤，倒不如直接考虑 LDU 这样 09/15 21:15
21F：→ hwanger : 第一点 LU分解并没有要求U的对角线非零 也没有说如 09/15 21:39
22F：→ hwanger : 果A是singular LU分解就会失败 09/15 21:40
23F：→ hwanger : LU分解对应到的矩阵处理是高斯消去法 所以你应该考 09/15 21:41
24F：→ hwanger : 虑的是高斯消去法何时可以在不换row的情况下做完 09/15 21:43
25F：→ hwanger : 这是有若且唯若的条件 不难查到 09/15 21:44
26F：→ hwanger : 第二点 你有LDU 就会有LU 因为DU就是上三角 09/15 21:44
27F：→ hwanger : 第三点 LDU在A是singular的时候 没有唯一 见下图 09/15 21:46
29F：→ hwanger : 至於原PO的问题 A不可逆时 LU分解就不一定唯一 如下 09/15 21:55
31F：→ hwanger : 另外证对於不可逆的A有唯一的LU分解(如果存在的话) 09/15 22:06
32F：→ hwanger : 根本不需要考虑LDU分解 假设A=L1*U1=L2*U2 09/15 22:07
33F：→ hwanger : 其中L1,L2主对角线都是1 则我们有 09/15 22:08
34F：→ hwanger : L2^{-1}*L1=U2*U1^{-1} 其中左边主对角线都是1且为 09/15 22:10
35F：→ hwanger : 下三角 而右边为上三角 所以两边是单位矩阵 09/15 22:11
36F：→ hwanger : 第四点 LDU分解诚如c大所述 L和U的主对角线都要是1 09/15 22:24
37F：→ hwanger : 但单纯看solvability LU就可以看了(直接看U的对角线 09/15 22:25
38F：→ hwanger : 有没有0即可 没有0 则det(L)=1 det(U)不为0) 09/15 22:26
39F：→ yagerbomb : 感谢！！懂了 09/15 22:35