作者toyota2211 (知識分子)
看板Math
標題[代數] 循問滿足此條件的函數名
時間Fri Sep 11 21:28:32 2020
f(x+y)=f(x)?f(y)
f(x)=f(x+y)?f(-y)
f(y)=f(x+y)?f(-x)
其中？為任意運算元，詢問滿足此條件的函數名稱，感恩
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※ 編輯: toyota2211 (122.116.226.60 臺灣), 09/11/2020 21:39:07
1F：推 hwanger : which kinds of operaters, domains and ranges do 09/11 21:43
2F：→ hwanger : you mean? 09/11 21:43
3F：→ hwanger : For goup its called homomorphism. 09/11 21:43
4F：→ hwanger : typo: For ablean groups 09/11 21:44
5F：→ hwanger : for example, exp:R→R^+ 09/11 21:46
6F：推 hwanger : I assume that the domain you want is an ablian g 09/11 21:49
7F：→ hwanger : roup, but which kinds of your operator and range 09/11 21:49
8F：→ hwanger : are? 09/11 21:49
9F：推 hwanger : BTW if the domain of f is an abelian group, then 09/11 21:57
10F：→ hwanger : first formula infers the rest two 09/11 21:57
11F：→ toyota2211 : the domain is real number, and the output of t 09/11 22:12
12F：→ toyota2211 : he function is a vector. 09/11 22:12
13F：→ toyota2211 : operator isn't defined 09/11 22:13
14F：→ toyota2211 : specifically, the specific terms of this prope 09/11 22:20
15F：→ toyota2211 : rty would be better. 09/11 22:20
16F：→ toyota2211 : i really appreciate your help. the closet term 09/11 22:25
17F：→ toyota2211 : which i survey currently is "additive functio 09/11 22:25
18F：→ toyota2211 : n", but it doesn't satisfy my constraint. 09/11 22:25
19F：→ toyota2211 : i see your answer. it is exactly homeomorpphis 09/11 22:28
20F：→ toyota2211 : m. thank you. 09/11 22:28
21F：推 hwanger : no i say homomorphism. it is different from hom 09/11 22:56
22F：→ hwanger : eomorphism. 09/11 22:56
23F：→ hwanger : Also, if the operator is associative , then f is 09/11 22:56
24F：→ hwanger : a homomorphism of semigroup. 09/11 22:56
25F：推 hwanger : Furthermore if you want f to be a homomorphism, 09/11 22:58
26F：→ hwanger : then the operator can not be arbitrary. 09/11 22:58
27F：推 chemmachine : 你的函數值域是向量函數，domain是R。所以F都是向量 09/12 14:28
28F：→ chemmachine : 向量會滿足向量空間的運算，會限縮你的問號到向量加 09/12 14:30
29F：→ chemmachine : 法 向量減法 內積 外積 楔積 摺積 這些。 另外你的 09/12 14:31
30F：→ chemmachine : 算滿足擬群運算。如果?有反運算，是HOMOMORPHISM沒 09/12 14:32
31F：→ chemmachine : 錯。八九不離十你的問號是向量加法，F是HOMOMORPHIS 09/12 14:34
32F：→ chemmachine : -M 向量的加法 左減 右減法 形成 擬群 09/12 14:35
33F：→ chemmachine : 當然和擬群還有一些細微的差異 要加入F(-Y)=-F(Y)等 09/12 14:38
34F：→ hwanger : ??? 考慮 (r_1e_1)*(r_2e_2)=(r_1+r_2)e_1, u*v=e_2 09/12 15:02
35F：→ hwanger : 則f(x)=x e_1會滿足三個式子 09/12 15:03
36F：→ hwanger : ??? 內積不是operator 冏 09/12 15:04
37F：→ hwanger : ??? 因為R^+和R^n是1-1 corresponding 所以我們可以 09/12 15:05
38F：→ hwanger : 定義&在R^n上 使得f(x+y)=f(x)&f(y)是同構的 而&不 09/12 15:07
39F：→ hwanger : 是向量加法 09/12 15:07
40F：→ hwanger : 另外想請問c大 為何可以推到"?"滿足擬群運算 我上面 09/12 15:14
41F：→ hwanger : 定義的*就不是擬群呀 另一個問題是擬群中沒有逆元素 09/12 15:17
42F：→ hwanger : 所以F(-Y)=-F(Y)的右側是什麼意義? 09/12 15:18
43F：推 chemmachine : 由維基百科的擬群a*x = b y*a = b x = a \ b 09/13 20:58
44F：→ chemmachine : y = b / a (b右減a) 09/13 20:59
45F：推 chemmachine : 令f(x+y)=f(x)+f(y)寫?為+ 則f(x)=f(x+y)右減f(y) 09/13 21:03
46F：→ chemmachine : 和原來第二式比較f(x)=f(x+y)+f(-y)比較 09/13 21:04
47F：→ chemmachine : +f(-y)運算和右減f(y)相等 如果滿足f(-y)=-f(y)條件 09/13 21:06
48F：→ chemmachine : 則可以推得?是擬群乘法運算 09/13 21:07
49F：→ chemmachine : 我的意思很簡單就是?向量加法且f滿足f(-y)=-f(y) 09/13 21:08
50F：→ chemmachine : 猜測?是向量加法 另外我之前的說明是說?一定是向量 09/13 21:10
51F：→ chemmachine : 量運算，這是條件給的限制，但要剔除那些不可能的 09/13 21:10
52F：→ chemmachine : 的向量運算 09/13 21:10
53F：推 chemmachine : 喔喔看懂了 原來是說f(x)=e^x 只是我在想原po給的 09/13 21:14
54F：→ chemmachine : f:R->VECTOR條件 因為e^x是實數對x屬於R 09/13 21:15
55F：推 chemmachine : 高微有考題 柯西函數方程f(x+y)=f(x)*f(y)的解e^x 09/13 21:19
56F：→ chemmachine : 以及f(x*y)=f(x)+f(y)解為f(x)=log(x) 09/13 21:20
57F：推 chemmachine : 又內積我是把它視為廣義代數運算 不過這裡顯然 09/13 21:28
58F：→ chemmachine : 不是內積，帶入不合 09/13 21:28
59F：推 chemmachine : 我比較納悶的是這題看起來不像奧數，也不像大學習 09/13 21:34
60F：→ chemmachine : 題 又是很少見的"向量函數方程"，所以覺得原po可能 09/13 21:35
61F：→ chemmachine : 會錯題意，當然會錯題意之後這是一個難題 09/13 21:36
62F：推 chemmachine : by the way， hwanger是很強的數學系高手 09/13 21:49
63F：→ chemmachine : 給原po關鍵字 1類群結構 2擬群 3半群 4柯西函數方程 09/13 21:50
64F：→ chemmachine : 5向量值函數 6.f(x+y)=f(x)*f(y)7.f(x*y)=f(x)+f(y) 09/13 21:51
65F：→ hwanger : 先明確定義一個上面舉過的例子 我們讓{e1,e2}為R^2 09/13 22:01
66F：→ hwanger : 的標準基 由下列方式定義*:R^2xR^2→R^2 09/13 22:04
67F：→ hwanger : u*v=(r1+r2)e1 如果u=r1*e1且v=r2*e2 09/13 22:06
68F：→ hwanger : u*v= e2 如果u或v不在x軸上的話 09/13 22:07
69F：推 chemmachine : f也可以是線性函數 09/13 22:08
70F：→ chemmachine : hw大是這個意思 ?是向量加法這樣好像也可以 09/13 22:09
71F：→ hwanger : 則(R^2,*)不是擬群 接著我們考慮f:R→R^2 f(r)=r*e1 09/13 22:09
72F：→ hwanger : 則f滿足上述三個條件 09/13 22:10
73F：→ chemmachine : x和 y屬於1*1矩陣等價於R f屬於N*1矩陣則f(x)和f(y) 09/13 22:10
74F：→ chemmachine : 是n*1矩陣 09/13 22:10
75F：→ hwanger : 接著再考慮另一個觀念 因為domain是R 如我在 09/13 22:12
76F：→ hwanger : [09/11 21:57]的回文所述 第二個第三個條件是多餘的 09/13 22:14
77F：→ hwanger : 關於c大[09/13 20:58]至[09/13 21:07] 我上面的例子 09/13 22:16
78F：→ hwanger : 就是這部份結論的反例 這裡你證明的flaw在於f並沒有 09/13 22:17
79F：→ hwanger : 被要求是onto的 09/13 22:18
80F：→ hwanger : 關於c大[09/13 21:08]至[09/13 21:10]的回文 我所舉 09/13 22:21
81F：→ hwanger : 的例子* 就不是向量加法 09/13 22:22
82F：→ hwanger : Example 2. 因為R和R^n是一樣cardinality 所以存在 09/13 22:25
83F：→ hwanger : 一個1-1corresponding φ:R^n→R^+ 則我們可以定義 09/13 22:27
84F：→ hwanger : 一個binary operator &:R^nxR^n→R^n 藉由 09/13 22:29
85F：→ hwanger : u*v=φ^{-1}(φ(u)φ(v)) 因為(R,+)和(R^+,x)是同構 09/13 22:31
86F：→ hwanger : 的 並且(R^+,x)和(R^n,&)是同構的 所以(R,+)和 09/13 22:32
87F：→ hwanger : (R^n,&)是同構的 09/13 22:33
88F：→ hwanger : c大[09/13 21:14]至[09/13 21:20]應該是誤會我的意 09/13 22:34
89F：推 chemmachine : 推廣定義域f(A)=e^A A為矩陣 矩陣指數函數 09/13 22:34
90F：→ hwanger : 思了 我的意思就是example2 也就是沒有理由只考慮? 09/13 22:36
91F：推 chemmachine : HW大，之前其實我在回原PO不是在問你== 09/13 22:37
92F：→ hwanger : 為向量加法 因為Example 2的&就不是向量加法 09/13 22:37
93F：→ chemmachine : HW大的我只看得懂一些。我個人結論是f 09/13 22:38
94F：→ chemmachine : 有很多種可能，f可以是(1)linear trasformation 09/13 22:39
95F：→ chemmachine : ?是向量加法<2>f是矩陣指數函數f(A)=e^A但這要推廣 09/13 22:40
96F：→ chemmachine : 定義域實數到向量 09/13 22:40
97F：→ hwanger : c大不好意思 我之所以會回你 是因為不解為何你只限 09/13 22:41
98F：→ chemmachine : <3>增加條件 *f(-y)=/f(y)則 *是擬群運算 當然加上 09/13 22:42
99F：→ chemmachine : associative條件*可以是半群 09/13 22:42
100F：→ hwanger : 定在常見的binary operator 並且得到(V,?)是擬群的 09/13 22:43
101F：→ chemmachine : 我每個函數加的條件不一樣>< 09/13 22:43
102F：→ chemmachine : 查一下維基百科群的類似結構有 所以知道hw說的半群 09/13 22:43
103F：→ hwanger : 結論 如我前述 沒有任何限制在f上的話 基本上我們是 09/13 22:44
104F：→ chemmachine : 這個我也同意，群的類似結構本來條件相差不多 09/13 22:44
105F：→ chemmachine : 我只是列出以上三種可能而已。而且我的意思是 09/13 22:44
106F：→ hwanger : 沒有(V,?)任何的有關代數結構的細節 我一直造反例也 09/13 22:45
107F：→ chemmachine : 這三個答案f是線性函數、f是exp矩陣指數函數、f是 09/13 22:45
108F：→ hwanger : 是為了說明這點 09/13 22:45
109F：→ chemmachine : 是擬群或半群運算是互斥的 09/13 22:45
110F：→ chemmachine : 條件是我加的。因為我看到toyota大有說可以加specia 09/13 22:46
111F：→ chemmachine : l的條件 09/13 22:46
112F：→ chemmachine : toyota2211 : specifically, the specific terms 09/13 22:47
113F：→ hwanger : 冏 我的意思是如果f不是onto的話 你基本上不能斷定 09/13 22:47
114F：→ hwanger : (V,?)是否為擬群,半群或其他有的沒有的 你所有的資 09/13 22:49
115F：→ hwanger : 訊僅限於image of f上 也就是我們只知道(Im(f),?)這 09/13 22:50
116F：→ hwanger : 個 09/13 22:50
117F：推 chemmachine : 可以專注在可以實現擬群運算的range就好 09/13 22:52
118F：推 chemmachine : 例子我提供線性函數T(X+Y)=T(X)+T(Y) 則T(X)=T(X+Y) 09/13 22:55
119F：→ hwanger : "specifically, the specific..."這段話我其實不知 09/13 22:56
120F：→ chemmachine : T(Y) T(Y)=T(X+Y)-T(X) "-"同時為左減和右減 這三式 09/13 22:56
121F：→ chemmachine : 式滿足擬群定義。 09/13 22:57
122F：→ hwanger : 道原PO要表達什麼 加上他忽略了我之前提到的abelian 09/13 22:57
123F：→ hwanger : group 所以我就真的覺得?是隨意的 09/13 22:58
124F：→ hwanger : 另外如果我們只考慮(Im(f),?)的話 那(Im(f),?)不只 09/13 23:01
125F：→ hwanger : 是擬群 而且是一個交換群 09/13 23:01
126F：→ hwanger : 1. ? is closed in Im(f) since f(x)?f(y)=f(x+y) 09/13 23:03
127F：→ hwanger : 2. ? is associative since ((f(x)?f(y))?f(z))= 09/13 23:04
128F：→ hwanger : f(x+y)?f(z)=f(x+y+z)=...=(f(x)?(f(y)?f(z))) 09/13 23:05
129F：→ chemmachine : 這個我也同意，群的類似結構本來條件相差不多而且 09/13 23:06
130F：→ hwanger : 3. for all x, f(x)=f(x)?f(0)=f(0)?f(x) 09/13 23:06
131F：→ hwanger : the existence of inverse and commutative are 09/13 23:07
132F：→ hwanger : similar 09/13 23:08
133F：→ chemmachine : 可以驗證或加上去。我只是覺得也許TOYOTA大看到這 09/13 23:08
134F：→ chemmachine : 些解答會變傻眼貓咪 09/13 23:08
135F：→ hwanger : 那個真得不用執著於原文第二第三個式子 他們是多的 09/13 23:09
136F：→ hwanger : 是可以被第一個式子推出來的 09/13 23:10
137F：→ hwanger : XD 我只是單純和c大你討論而已 因為在一開始我回文 09/13 23:12
138F：推 chemmachine : HW大這邊你的推論我有看懂 這樣很完美了 由擬群條 09/13 23:13
139F：→ hwanger : 說另外兩個式子是多餘的時候 就發現我講太多名詞了 09/13 23:13
140F：→ chemmachine : 件加上第一式的線性條件可以得到*是交換群運算 09/13 23:14
141F：→ chemmachine : 2.3式將1式這邊做一些變數變換可以自然得到 09/13 23:15
142F：→ hwanger : XD 主要還是我沒辦法釐清原PO想要的?是啥 而原po也 09/13 23:20
143F：→ hwanger : 沒意識到不限制(V,?)的type 我們根本進行不下去 冏 09/13 23:22
144F：→ hwanger : .......如果不限制... 09/13 23:24
145F：→ hwanger : XD 不好意思我少想了一些東西 如果不限制(V,?)的 09/13 23:49
146F：→ hwanger : type的話 則稱呼這類f的術語是morphisms of magmas 09/13 23:51
147F：推 chemmachine : magmas 就是原群，原群的態射homomorphism 09/14 00:01
148F：→ hwanger : XD 其實我對中文名詞不太熟 c大的名詞我都要wiki 冏 09/14 00:13
149F：推 chemmachine : hw大的magmas應該是最簡潔的解。 09/14 00:24
150F：推 chemmachine : 原題給的是原群的morphism定義，但由推導最後可以 09/14 00:30
151F：→ chemmachine : 導出是交換群。 09/14 00:30
152F：→ chemmachine : exp函數要增加domain的推廣到矩陣， 09/14 00:30
153F：→ chemmachine : 線性函數要限制？是向量加法。原群的morphism給的 09/14 00:30
154F：→ chemmachine : 條件是最寬鬆的。 09/14 00:30
155F：推 chemmachine : hw大，其實我這邊原群擬群半群是看維基百科學的，也 09/14 00:34
156F：→ chemmachine : 才知道原來還有範疇，泛代數這種東西。 09/14 00:34
157F：推 hwanger : 推最後這個總結 09/14 00:36
158F：推 hwanger : XD category theory和universal algebra的確比較少 09/14 00:51
159F：→ hwanger : 人(非數學研究者而言)知道 加上category theory是許 09/14 00:51
160F：→ hwanger : 多數學分枝的抽象 universal algebra則要求一定程 09/14 00:51
161F：→ hwanger : 度的數理邏輯知識 所以就更少非數學研究者願意討論 09/14 00:51
162F：→ hwanger : 儘管這兩者都是現代代數重要的工具 囧 09/14 00:51