作者toyota2211 (知识分子)
看板Math
标题[代数] 循问满足此条件的函数名
时间Fri Sep 11 21:28:32 2020
f(x+y)=f(x)?f(y)
f(x)=f(x+y)?f(-y)
f(y)=f(x+y)?f(-x)
其中？为任意运算元，询问满足此条件的函数名称，感恩
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1F：推 hwanger : which kinds of operaters, domains and ranges do 09/11 21:43
2F：→ hwanger : you mean? 09/11 21:43
3F：→ hwanger : For goup its called homomorphism. 09/11 21:43
4F：→ hwanger : typo: For ablean groups 09/11 21:44
5F：→ hwanger : for example, exp:R→R^+ 09/11 21:46
6F：推 hwanger : I assume that the domain you want is an ablian g 09/11 21:49
7F：→ hwanger : roup, but which kinds of your operator and range 09/11 21:49
8F：→ hwanger : are? 09/11 21:49
9F：推 hwanger : BTW if the domain of f is an abelian group, then 09/11 21:57
10F：→ hwanger : first formula infers the rest two 09/11 21:57
11F：→ toyota2211 : the domain is real number, and the output of t 09/11 22:12
12F：→ toyota2211 : he function is a vector. 09/11 22:12
13F：→ toyota2211 : operator isn't defined 09/11 22:13
14F：→ toyota2211 : specifically, the specific terms of this prope 09/11 22:20
15F：→ toyota2211 : rty would be better. 09/11 22:20
16F：→ toyota2211 : i really appreciate your help. the closet term 09/11 22:25
17F：→ toyota2211 : which i survey currently is "additive functio 09/11 22:25
18F：→ toyota2211 : n", but it doesn't satisfy my constraint. 09/11 22:25
19F：→ toyota2211 : i see your answer. it is exactly homeomorpphis 09/11 22:28
20F：→ toyota2211 : m. thank you. 09/11 22:28
21F：推 hwanger : no i say homomorphism. it is different from hom 09/11 22:56
22F：→ hwanger : eomorphism. 09/11 22:56
23F：→ hwanger : Also, if the operator is associative , then f is 09/11 22:56
24F：→ hwanger : a homomorphism of semigroup. 09/11 22:56
25F：推 hwanger : Furthermore if you want f to be a homomorphism, 09/11 22:58
26F：→ hwanger : then the operator can not be arbitrary. 09/11 22:58
27F：推 chemmachine : 你的函数值域是向量函数，domain是R。所以F都是向量 09/12 14:28
28F：→ chemmachine : 向量会满足向量空间的运算，会限缩你的问号到向量加 09/12 14:30
29F：→ chemmachine : 法 向量减法 内积 外积 楔积 摺积 这些。 另外你的 09/12 14:31
30F：→ chemmachine : 算满足拟群运算。如果?有反运算，是HOMOMORPHISM没 09/12 14:32
31F：→ chemmachine : 错。八九不离十你的问号是向量加法，F是HOMOMORPHIS 09/12 14:34
32F：→ chemmachine : -M 向量的加法 左减 右减法 形成 拟群 09/12 14:35
33F：→ chemmachine : 当然和拟群还有一些细微的差异 要加入F(-Y)=-F(Y)等 09/12 14:38
34F：→ hwanger : ??? 考虑 (r_1e_1)*(r_2e_2)=(r_1+r_2)e_1, u*v=e_2 09/12 15:02
35F：→ hwanger : 则f(x)=x e_1会满足三个式子 09/12 15:03
36F：→ hwanger : ??? 内积不是operator 冏 09/12 15:04
37F：→ hwanger : ??? 因为R^+和R^n是1-1 corresponding 所以我们可以 09/12 15:05
38F：→ hwanger : 定义&在R^n上 使得f(x+y)=f(x)&f(y)是同构的 而&不 09/12 15:07
39F：→ hwanger : 是向量加法 09/12 15:07
40F：→ hwanger : 另外想请问c大 为何可以推到"?"满足拟群运算 我上面 09/12 15:14
41F：→ hwanger : 定义的*就不是拟群呀 另一个问题是拟群中没有逆元素 09/12 15:17
42F：→ hwanger : 所以F(-Y)=-F(Y)的右侧是什麽意义? 09/12 15:18
43F：推 chemmachine : 由维基百科的拟群a*x = b y*a = b x = a \ b 09/13 20:58
44F：→ chemmachine : y = b / a (b右减a) 09/13 20:59
45F：推 chemmachine : 令f(x+y)=f(x)+f(y)写?为+ 则f(x)=f(x+y)右减f(y) 09/13 21:03
46F：→ chemmachine : 和原来第二式比较f(x)=f(x+y)+f(-y)比较 09/13 21:04
47F：→ chemmachine : +f(-y)运算和右减f(y)相等 如果满足f(-y)=-f(y)条件 09/13 21:06
48F：→ chemmachine : 则可以推得?是拟群乘法运算 09/13 21:07
49F：→ chemmachine : 我的意思很简单就是?向量加法且f满足f(-y)=-f(y) 09/13 21:08
50F：→ chemmachine : 猜测?是向量加法 另外我之前的说明是说?一定是向量 09/13 21:10
51F：→ chemmachine : 量运算，这是条件给的限制，但要剔除那些不可能的 09/13 21:10
52F：→ chemmachine : 的向量运算 09/13 21:10
53F：推 chemmachine : 喔喔看懂了 原来是说f(x)=e^x 只是我在想原po给的 09/13 21:14
54F：→ chemmachine : f:R->VECTOR条件 因为e^x是实数对x属於R 09/13 21:15
55F：推 chemmachine : 高微有考题 柯西函数方程f(x+y)=f(x)*f(y)的解e^x 09/13 21:19
56F：→ chemmachine : 以及f(x*y)=f(x)+f(y)解为f(x)=log(x) 09/13 21:20
57F：推 chemmachine : 又内积我是把它视为广义代数运算 不过这里显然 09/13 21:28
58F：→ chemmachine : 不是内积，带入不合 09/13 21:28
59F：推 chemmachine : 我比较纳闷的是这题看起来不像奥数，也不像大学习 09/13 21:34
60F：→ chemmachine : 题 又是很少见的"向量函数方程"，所以觉得原po可能 09/13 21:35
61F：→ chemmachine : 会错题意，当然会错题意之後这是一个难题 09/13 21:36
62F：推 chemmachine : by the way， hwanger是很强的数学系高手 09/13 21:49
63F：→ chemmachine : 给原po关键字 1类群结构 2拟群 3半群 4柯西函数方程 09/13 21:50
64F：→ chemmachine : 5向量值函数 6.f(x+y)=f(x)*f(y)7.f(x*y)=f(x)+f(y) 09/13 21:51
65F：→ hwanger : 先明确定义一个上面举过的例子 我们让{e1,e2}为R^2 09/13 22:01
66F：→ hwanger : 的标准基 由下列方式定义*:R^2xR^2→R^2 09/13 22:04
67F：→ hwanger : u*v=(r1+r2)e1 如果u=r1*e1且v=r2*e2 09/13 22:06
68F：→ hwanger : u*v= e2 如果u或v不在x轴上的话 09/13 22:07
69F：推 chemmachine : f也可以是线性函数 09/13 22:08
70F：→ chemmachine : hw大是这个意思 ?是向量加法这样好像也可以 09/13 22:09
71F：→ hwanger : 则(R^2,*)不是拟群 接着我们考虑f:R→R^2 f(r)=r*e1 09/13 22:09
72F：→ hwanger : 则f满足上述三个条件 09/13 22:10
73F：→ chemmachine : x和 y属於1*1矩阵等价於R f属於N*1矩阵则f(x)和f(y) 09/13 22:10
74F：→ chemmachine : 是n*1矩阵 09/13 22:10
75F：→ hwanger : 接着再考虑另一个观念 因为domain是R 如我在 09/13 22:12
76F：→ hwanger : [09/11 21:57]的回文所述 第二个第三个条件是多余的 09/13 22:14
77F：→ hwanger : 关於c大[09/13 20:58]至[09/13 21:07] 我上面的例子 09/13 22:16
78F：→ hwanger : 就是这部份结论的反例 这里你证明的flaw在於f并没有 09/13 22:17
79F：→ hwanger : 被要求是onto的 09/13 22:18
80F：→ hwanger : 关於c大[09/13 21:08]至[09/13 21:10]的回文 我所举 09/13 22:21
81F：→ hwanger : 的例子* 就不是向量加法 09/13 22:22
82F：→ hwanger : Example 2. 因为R和R^n是一样cardinality 所以存在 09/13 22:25
83F：→ hwanger : 一个1-1corresponding φ:R^n→R^+ 则我们可以定义 09/13 22:27
84F：→ hwanger : 一个binary operator &:R^nxR^n→R^n 藉由 09/13 22:29
85F：→ hwanger : u*v=φ^{-1}(φ(u)φ(v)) 因为(R,+)和(R^+,x)是同构 09/13 22:31
86F：→ hwanger : 的 并且(R^+,x)和(R^n,&)是同构的 所以(R,+)和 09/13 22:32
87F：→ hwanger : (R^n,&)是同构的 09/13 22:33
88F：→ hwanger : c大[09/13 21:14]至[09/13 21:20]应该是误会我的意 09/13 22:34
89F：推 chemmachine : 推广定义域f(A)=e^A A为矩阵 矩阵指数函数 09/13 22:34
90F：→ hwanger : 思了 我的意思就是example2 也就是没有理由只考虑? 09/13 22:36
91F：推 chemmachine : HW大，之前其实我在回原PO不是在问你== 09/13 22:37
92F：→ hwanger : 为向量加法 因为Example 2的&就不是向量加法 09/13 22:37
93F：→ chemmachine : HW大的我只看得懂一些。我个人结论是f 09/13 22:38
94F：→ chemmachine : 有很多种可能，f可以是(1)linear trasformation 09/13 22:39
95F：→ chemmachine : ?是向量加法<2>f是矩阵指数函数f(A)=e^A但这要推广 09/13 22:40
96F：→ chemmachine : 定义域实数到向量 09/13 22:40
97F：→ hwanger : c大不好意思 我之所以会回你 是因为不解为何你只限 09/13 22:41
98F：→ chemmachine : <3>增加条件 *f(-y)=/f(y)则 *是拟群运算 当然加上 09/13 22:42
99F：→ chemmachine : associative条件*可以是半群 09/13 22:42
100F：→ hwanger : 定在常见的binary operator 并且得到(V,?)是拟群的 09/13 22:43
101F：→ chemmachine : 我每个函数加的条件不一样>< 09/13 22:43
102F：→ chemmachine : 查一下维基百科群的类似结构有 所以知道hw说的半群 09/13 22:43
103F：→ hwanger : 结论 如我前述 没有任何限制在f上的话 基本上我们是 09/13 22:44
104F：→ chemmachine : 这个我也同意，群的类似结构本来条件相差不多 09/13 22:44
105F：→ chemmachine : 我只是列出以上三种可能而已。而且我的意思是 09/13 22:44
106F：→ hwanger : 没有(V,?)任何的有关代数结构的细节 我一直造反例也 09/13 22:45
107F：→ chemmachine : 这三个答案f是线性函数、f是exp矩阵指数函数、f是 09/13 22:45
108F：→ hwanger : 是为了说明这点 09/13 22:45
109F：→ chemmachine : 是拟群或半群运算是互斥的 09/13 22:45
110F：→ chemmachine : 条件是我加的。因为我看到toyota大有说可以加specia 09/13 22:46
111F：→ chemmachine : l的条件 09/13 22:46
112F：→ chemmachine : toyota2211 : specifically, the specific terms 09/13 22:47
113F：→ hwanger : 冏 我的意思是如果f不是onto的话 你基本上不能断定 09/13 22:47
114F：→ hwanger : (V,?)是否为拟群,半群或其他有的没有的 你所有的资 09/13 22:49
115F：→ hwanger : 讯仅限於image of f上 也就是我们只知道(Im(f),?)这 09/13 22:50
116F：→ hwanger : 个 09/13 22:50
117F：推 chemmachine : 可以专注在可以实现拟群运算的range就好 09/13 22:52
118F：推 chemmachine : 例子我提供线性函数T(X+Y)=T(X)+T(Y) 则T(X)=T(X+Y) 09/13 22:55
119F：→ hwanger : "specifically, the specific..."这段话我其实不知 09/13 22:56
120F：→ chemmachine : T(Y) T(Y)=T(X+Y)-T(X) "-"同时为左减和右减 这三式 09/13 22:56
121F：→ chemmachine : 式满足拟群定义。 09/13 22:57
122F：→ hwanger : 道原PO要表达什麽 加上他忽略了我之前提到的abelian 09/13 22:57
123F：→ hwanger : group 所以我就真的觉得?是随意的 09/13 22:58
124F：→ hwanger : 另外如果我们只考虑(Im(f),?)的话 那(Im(f),?)不只 09/13 23:01
125F：→ hwanger : 是拟群 而且是一个交换群 09/13 23:01
126F：→ hwanger : 1. ? is closed in Im(f) since f(x)?f(y)=f(x+y) 09/13 23:03
127F：→ hwanger : 2. ? is associative since ((f(x)?f(y))?f(z))= 09/13 23:04
128F：→ hwanger : f(x+y)?f(z)=f(x+y+z)=...=(f(x)?(f(y)?f(z))) 09/13 23:05
129F：→ chemmachine : 这个我也同意，群的类似结构本来条件相差不多而且 09/13 23:06
130F：→ hwanger : 3. for all x, f(x)=f(x)?f(0)=f(0)?f(x) 09/13 23:06
131F：→ hwanger : the existence of inverse and commutative are 09/13 23:07
132F：→ hwanger : similar 09/13 23:08
133F：→ chemmachine : 可以验证或加上去。我只是觉得也许TOYOTA大看到这 09/13 23:08
134F：→ chemmachine : 些解答会变傻眼猫咪 09/13 23:08
135F：→ hwanger : 那个真得不用执着於原文第二第三个式子 他们是多的 09/13 23:09
136F：→ hwanger : 是可以被第一个式子推出来的 09/13 23:10
137F：→ hwanger : XD 我只是单纯和c大你讨论而已 因为在一开始我回文 09/13 23:12
138F：推 chemmachine : HW大这边你的推论我有看懂 这样很完美了 由拟群条 09/13 23:13
139F：→ hwanger : 说另外两个式子是多余的时候 就发现我讲太多名词了 09/13 23:13
140F：→ chemmachine : 件加上第一式的线性条件可以得到*是交换群运算 09/13 23:14
141F：→ chemmachine : 2.3式将1式这边做一些变数变换可以自然得到 09/13 23:15
142F：→ hwanger : XD 主要还是我没办法厘清原PO想要的?是啥 而原po也 09/13 23:20
143F：→ hwanger : 没意识到不限制(V,?)的type 我们根本进行不下去 冏 09/13 23:22
144F：→ hwanger : .......如果不限制... 09/13 23:24
145F：→ hwanger : XD 不好意思我少想了一些东西 如果不限制(V,?)的 09/13 23:49
146F：→ hwanger : type的话 则称呼这类f的术语是morphisms of magmas 09/13 23:51
147F：推 chemmachine : magmas 就是原群，原群的态射homomorphism 09/14 00:01
148F：→ hwanger : XD 其实我对中文名词不太熟 c大的名词我都要wiki 冏 09/14 00:13
149F：推 chemmachine : hw大的magmas应该是最简洁的解。 09/14 00:24
150F：推 chemmachine : 原题给的是原群的morphism定义，但由推导最後可以 09/14 00:30
151F：→ chemmachine : 导出是交换群。 09/14 00:30
152F：→ chemmachine : exp函数要增加domain的推广到矩阵， 09/14 00:30
153F：→ chemmachine : 线性函数要限制？是向量加法。原群的morphism给的 09/14 00:30
154F：→ chemmachine : 条件是最宽松的。 09/14 00:30
155F：推 chemmachine : hw大，其实我这边原群拟群半群是看维基百科学的，也 09/14 00:34
156F：→ chemmachine : 才知道原来还有范畴，泛代数这种东西。 09/14 00:34
157F：推 hwanger : 推最後这个总结 09/14 00:36
158F：推 hwanger : XD category theory和universal algebra的确比较少 09/14 00:51
159F：→ hwanger : 人(非数学研究者而言)知道 加上category theory是许 09/14 00:51
160F：→ hwanger : 多数学分枝的抽象 universal algebra则要求一定程 09/14 00:51
161F：→ hwanger : 度的数理逻辑知识 所以就更少非数学研究者愿意讨论 09/14 00:51
162F：→ hwanger : 尽管这两者都是现代代数重要的工具 囧 09/14 00:51