作者jr80939393 (jr80939393)
看板Math
標題想請教這個矩陣如何驗證他不是PSD
時間Tue Sep 8 23:21:55 2020
想請教圖中紅色標記的這個矩陣，當X不等於Y時這個矩陣不是PSD，我想寫出一個完整的證明可是想不太出來，想請教板上的高手，給我一個大概的方向，感謝！
另外我第二張圖舉得這個例子不知道有沒有違反他內文的意思，所以我有點困惑這個敘述是對還是錯的。
https://i.imgur.com/bEmvECf.jpg
https://i.imgur.com/T8TX92S.jpg
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1F：推 Vulpix : S^n是對稱n階方陣空間嗎？ 09/09 00:33
2F：推 Vulpix : 大概還是要挑適當的X和Y才行，書上敘述看起來怪怪 09/09 00:38
3F：→ Vulpix : 。 09/09 00:38
4F：→ jr80939393 : 是的，好的謝謝回覆！ 09/09 01:03
5F：推 Vulpix : K-convex應該是說f。像這裡的f大概是[0 1; 1 0]這種 09/09 01:28
6F：→ Vulpix : 形式。只要所有的f(X,Y)都convex(PSD)就稱f為K-conv 09/09 01:29
7F：→ Vulpix : 所以要舉反例就是找到不對勁的X,Y。以這例子來說， 09/09 01:31
8F：→ Vulpix : 選Y=-X在大多數時候應該都可以成功推翻。 09/09 01:35
9F：→ Vulpix : 不過這個K-convex怎麼和我看過的K-convex不太一樣？ 09/09 01:36
10F：→ yhliu : Y = kX ==> XY^T+YX^T = 2kXX^T 顯然是 PSD, 所以 09/09 10:16
11F：→ yhliu : "X≠Y" 或許要改成 "不存在 k 使 Y=kX 或 X=kY". 09/09 10:17
12F：→ yhliu : XY^T+YX^T = (X+Y)(X+Y)^T-XX^T-YY^T, 想證明 X,Y 09/09 10:18
13F：→ yhliu : 不成比例時 XY^T+YX^T 不是 psd, 大概要從右邊著手? 09/09 10:20
14F：→ yhliu : 這相當於要證明兩向量 a, b, |a+b|^2 和|a|^2+|b|^2 09/09 10:24
15F：→ yhliu : 相比不一定較大或相等. 也相當於三角形一邊長之平方 09/09 10:26
16F：→ yhliu : 可以大於、等於、或小於另兩邊平方和. 09/09 10:27
17F：→ hwanger : ??? 2kXX^T不一定是PSD 依k而定 冏 09/09 12:59
19F：→ hwanger : 如上圖 隨便選a1,...,ak,b1,..,bk 則你想要f(X,Y)是 09/09 13:00
20F：→ hwanger : 什麼就是什麼 (除了n>m時 f(X,Y)不可能是正定或負定 09/09 13:02
21F：→ hwanger : ) 例如選1,2,...,k和k,k-1,...,1 則X,Y不成比例 但 09/09 13:03
22F：→ hwanger : f(X,Y)依舊是半正定 09/09 13:04
23F：→ jr80939393 : 謝謝大家的詢問，我也去詢問過老師了，老師說這部分 09/09 17:21
24F：→ jr80939393 : 應該改成存在(X,Y)使之不是convex，不過我還想詢問 09/09 17:21
25F：→ jr80939393 : 一下這(X,Y)要有什麼限制才能使他是not PSD。 09/09 17:21
26F：→ jr80939393 : 是謝謝大家的回覆！！（打錯字） 09/09 17:21
27F：→ yhliu : 要建構 X, Y 使 XY^T+YX^T 是 p.s.d., 是 n.s.d./, 09/09 20:05
28F：→ yhliu : 既非 p.s.d. 也非 n.s.d. 似乎都不難, 但要找出非 09/09 20:07
29F：→ yhliu : p.s.d. 的(充要)條件似乎不容易. 09/09 20:09
30F：→ yhliu : 假設 Y=XA (或 X=YA), 則 XY^T+YX^T = X(A+A^T)X^T. 09/09 20:11
31F：→ yhliu : 取任意 p.s.d. A, 則結果是 p.s.d., 取 n.s.d. A, 09/09 20:12
32F：→ yhliu : 結果就是 n.s.d.. 取 A 既非 p.s.d. 也非 n.s.d., 09/09 20:14
33F：→ yhliu : 則結果既非 p.s.d. 也非 n.s.d.. 09/09 20:15
34F：→ hwanger : 和y大觀點差不多 你可能找到比較簡單的條件P(*,*)或 09/09 21:59
35F：→ hwanger : Q(*,*)滿足 P(X,Y)→f(X,Y) is PSD 或者 09/09 22:00
36F：→ hwanger : Q(X,Y)→f(X,Y) is not PSD 但我覺得不太可能找到 09/09 22:02
37F：→ hwanger : 簡單的充要條件 或 容易計算的方法去判別f(X,Y)是否 09/09 22:03
38F：→ hwanger : 為PSD 我的理由如下(非嚴謹推理 故仍其他可能) 09/09 22:05
39F：→ hwanger : 令k=min(m,n) 則可以將問題拆成兩部份 09/09 22:08
40F：→ hwanger : 第一部份 對任意k*k矩陣M 是否有簡單方法判別M+M^T 09/09 22:11
41F：→ hwanger : 是否為PSD 在這一部份中 最簡單的情況就是M是對稱矩 09/09 22:13
42F：→ hwanger : 陣 可是就目前所知判別對稱矩陣M是否為PSD較快的方 09/09 22:16
43F：→ hwanger : 法應該是高斯消去法(Cholesky decomposition) 09/09 22:18
44F：→ hwanger : 目前似乎沒有更簡單的方法 所以如果對一般k by k矩 09/09 22:21
45F：→ hwanger : 陣M 我們有簡單的判別"M+M^T is PSD"方法的話 那對 09/09 22:24
46F：→ hwanger : 特殊情況"M is symmetric"自然也該有簡單的方法判別 09/09 22:26
47F：→ hwanger : 才對 09/09 22:26
48F：→ hwanger : 所以對第一部份的敘述 我感覺比較偏向否定 09/09 22:29
49F：→ hwanger : 第二部份就是 是否有簡單的方法判別f(X,Y)是否為PSD 09/09 22:32
50F：→ hwanger : 假設有的話 因為對任意k*k的矩陣M 我們總是可以找到 09/09 22:33
51F：→ hwanger : X,Y使得XY^T的左上k*k子矩陣為M 其他部份為0 所以問 09/09 22:34
52F：→ hwanger : 題就回到判別M+M^T是否為PSD 也就導致第一部份的敘 09/09 22:37
53F：→ hwanger : 述應該要是肯定的 所以有點矛盾 09/09 22:38
54F：→ hwanger : 所以對於第二部份 我自然而然也是感覺偏向否定 09/09 22:40
55F：→ hwanger : 稍稍overload 表達有點混亂 不好意思 09/09 22:43
56F：→ jr80939393 : 謝謝兩位高手的用心回覆，受益良多！ 09/09 23:15