作者jr80939393 (jr80939393)
看板Math
标题想请教这个矩阵如何验证他不是PSD
时间Tue Sep 8 23:21:55 2020
想请教图中红色标记的这个矩阵，当X不等於Y时这个矩阵不是PSD，我想写出一个完整的证明可是想不太出来，想请教板上的高手，给我一个大概的方向，感谢！
另外我第二张图举得这个例子不知道有没有违反他内文的意思，所以我有点困惑这个叙述是对还是错的。
https://i.imgur.com/bEmvECf.jpg
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1F：推 Vulpix : S^n是对称n阶方阵空间吗？ 09/09 00:33
2F：推 Vulpix : 大概还是要挑适当的X和Y才行，书上叙述看起来怪怪 09/09 00:38
3F：→ Vulpix : 。 09/09 00:38
4F：→ jr80939393 : 是的，好的谢谢回覆！ 09/09 01:03
5F：推 Vulpix : K-convex应该是说f。像这里的f大概是[0 1; 1 0]这种 09/09 01:28
6F：→ Vulpix : 形式。只要所有的f(X,Y)都convex(PSD)就称f为K-conv 09/09 01:29
7F：→ Vulpix : 所以要举反例就是找到不对劲的X,Y。以这例子来说， 09/09 01:31
8F：→ Vulpix : 选Y=-X在大多数时候应该都可以成功推翻。 09/09 01:35
9F：→ Vulpix : 不过这个K-convex怎麽和我看过的K-convex不太一样？ 09/09 01:36
10F：→ yhliu : Y = kX ==> XY^T+YX^T = 2kXX^T 显然是 PSD, 所以 09/09 10:16
11F：→ yhliu : "X≠Y" 或许要改成 "不存在 k 使 Y=kX 或 X=kY". 09/09 10:17
12F：→ yhliu : XY^T+YX^T = (X+Y)(X+Y)^T-XX^T-YY^T, 想证明 X,Y 09/09 10:18
13F：→ yhliu : 不成比例时 XY^T+YX^T 不是 psd, 大概要从右边着手? 09/09 10:20
14F：→ yhliu : 这相当於要证明两向量 a, b, |a+b|^2 和|a|^2+|b|^2 09/09 10:24
15F：→ yhliu : 相比不一定较大或相等. 也相当於三角形一边长之平方 09/09 10:26
16F：→ yhliu : 可以大於、等於、或小於另两边平方和. 09/09 10:27
17F：→ hwanger : ??? 2kXX^T不一定是PSD 依k而定 冏 09/09 12:59
19F：→ hwanger : 如上图 随便选a1,...,ak,b1,..,bk 则你想要f(X,Y)是 09/09 13:00
20F：→ hwanger : 什麽就是什麽 (除了n>m时 f(X,Y)不可能是正定或负定 09/09 13:02
21F：→ hwanger : ) 例如选1,2,...,k和k,k-1,...,1 则X,Y不成比例 但 09/09 13:03
22F：→ hwanger : f(X,Y)依旧是半正定 09/09 13:04
23F：→ jr80939393 : 谢谢大家的询问，我也去询问过老师了，老师说这部分 09/09 17:21
24F：→ jr80939393 : 应该改成存在(X,Y)使之不是convex，不过我还想询问 09/09 17:21
25F：→ jr80939393 : 一下这(X,Y)要有什麽限制才能使他是not PSD。 09/09 17:21
26F：→ jr80939393 : 是谢谢大家的回覆！！（打错字） 09/09 17:21
27F：→ yhliu : 要建构 X, Y 使 XY^T+YX^T 是 p.s.d., 是 n.s.d./, 09/09 20:05
28F：→ yhliu : 既非 p.s.d. 也非 n.s.d. 似乎都不难, 但要找出非 09/09 20:07
29F：→ yhliu : p.s.d. 的(充要)条件似乎不容易. 09/09 20:09
30F：→ yhliu : 假设 Y=XA (或 X=YA), 则 XY^T+YX^T = X(A+A^T)X^T. 09/09 20:11
31F：→ yhliu : 取任意 p.s.d. A, 则结果是 p.s.d., 取 n.s.d. A, 09/09 20:12
32F：→ yhliu : 结果就是 n.s.d.. 取 A 既非 p.s.d. 也非 n.s.d., 09/09 20:14
33F：→ yhliu : 则结果既非 p.s.d. 也非 n.s.d.. 09/09 20:15
34F：→ hwanger : 和y大观点差不多 你可能找到比较简单的条件P(*,*)或 09/09 21:59
35F：→ hwanger : Q(*,*)满足 P(X,Y)→f(X,Y) is PSD 或者 09/09 22:00
36F：→ hwanger : Q(X,Y)→f(X,Y) is not PSD 但我觉得不太可能找到 09/09 22:02
37F：→ hwanger : 简单的充要条件 或 容易计算的方法去判别f(X,Y)是否 09/09 22:03
38F：→ hwanger : 为PSD 我的理由如下(非严谨推理 故仍其他可能) 09/09 22:05
39F：→ hwanger : 令k=min(m,n) 则可以将问题拆成两部份 09/09 22:08
40F：→ hwanger : 第一部份 对任意k*k矩阵M 是否有简单方法判别M+M^T 09/09 22:11
41F：→ hwanger : 是否为PSD 在这一部份中 最简单的情况就是M是对称矩 09/09 22:13
42F：→ hwanger : 阵 可是就目前所知判别对称矩阵M是否为PSD较快的方 09/09 22:16
43F：→ hwanger : 法应该是高斯消去法(Cholesky decomposition) 09/09 22:18
44F：→ hwanger : 目前似乎没有更简单的方法 所以如果对一般k by k矩 09/09 22:21
45F：→ hwanger : 阵M 我们有简单的判别"M+M^T is PSD"方法的话 那对 09/09 22:24
46F：→ hwanger : 特殊情况"M is symmetric"自然也该有简单的方法判别 09/09 22:26
47F：→ hwanger : 才对 09/09 22:26
48F：→ hwanger : 所以对第一部份的叙述 我感觉比较偏向否定 09/09 22:29
49F：→ hwanger : 第二部份就是 是否有简单的方法判别f(X,Y)是否为PSD 09/09 22:32
50F：→ hwanger : 假设有的话 因为对任意k*k的矩阵M 我们总是可以找到 09/09 22:33
51F：→ hwanger : X,Y使得XY^T的左上k*k子矩阵为M 其他部份为0 所以问 09/09 22:34
52F：→ hwanger : 题就回到判别M+M^T是否为PSD 也就导致第一部份的叙 09/09 22:37
53F：→ hwanger : 述应该要是肯定的 所以有点矛盾 09/09 22:38
54F：→ hwanger : 所以对於第二部份 我自然而然也是感觉偏向否定 09/09 22:40
55F：→ hwanger : 稍稍overload 表达有点混乱 不好意思 09/09 22:43
56F：→ jr80939393 : 谢谢两位高手的用心回覆，受益良多！ 09/09 23:15