作者ethan0221 (Ethan)
看板Math
標題[機統] X～常態分配;Y=X的r次方,求Y的pdf
時間Tue Sep 8 01:37:10 2020
Derive the distribution (pdf) of the r-th power y of a normally distributed
random variable x, that is, y=x^r, x ~ N(μ, σ2). Assume r > 0. What happens
if r = 0 or r < 0? What is E(1/x) if x is normal? Then find the mean of x^r
using the approximation by the delta method. What is required for the delta
method approximation to be valid?
我假設r-th power的r是整數,下面的圖片是我假設r是偶數的情況,
但不知道奇數的話要怎麼處理
題目也還有問=0或小於0的情況會怎麼樣
第二張圖是算E(X^r)不知道題目問的delta method有什麼條件,謝謝！
https://imgur.com/rPsibTY
https://imgur.com/wXQbeWc
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1F：→ hwanger : 我覺得對於一般r而言 不太能定義並討論X^r 所以也只 09/08 09:06
2F：→ hwanger : 考慮r是整數 希望版上能人能補充 09/08 09:08
3F：→ hwanger : 當r是正奇數時 f(t)=t^r是increasing and bijective 09/08 09:11
4F：→ hwanger : 所以 P(X^r<=y) = P(X<=y^{1/r}) 接著沿原po的作法 09/08 09:14
5F：→ hwanger : 繼續做就好了 當r=0時 X^0=1 所以CDF是H(x-1) 而pdf 09/08 09:16
6F：→ hwanger : 是δ(x-1) 其中H是heaviside step function δ是 09/08 09:18
7F：→ hwanger : Dirac delta function 09/08 09:18
8F：→ hwanger : 同樣可以分析 當r為負奇數時 有 09/08 09:21
9F：→ hwanger : (當y>=0時) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{-1/r}) 09/08 09:23
10F：→ hwanger : (當y<=0時) P(X^r<=y) = P(y^{-1/r}<=X<=0) 09/08 09:25
11F：→ hwanger : 而r為負偶數時 有 09/08 09:27
12F：→ hwanger : (當y>=0時) P(|X|>=y^{1/r}) = P(X>=y^{1/r}) + 09/08 09:32
13F：→ hwanger : P(X<=-y^{1/r}) (當y<=0時)P(X^r<=y)=0 09/08 09:33
14F：→ hwanger : 上面r是負奇數時 弄錯r的正負 更正如下 09/08 09:36
15F：→ hwanger : (當y>=0時) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{1/r}) 09/08 09:37
16F：→ hwanger : (當y<=0時) P(X^r<=y) = P(y^{1/r}<=X<=0) 09/08 09:37
17F：→ hwanger : 看不太懂你證E(1/x)發散的理由 不過積分中exp的部份 09/08 09:39
18F：→ hwanger : 在x=0附近大約是常數 所以原積分不是L^1可積 09/08 09:42
19F：→ hwanger : 然後作逼近的部份 看不太懂Taylor展開和delta 09/08 09:46
20F：→ hwanger : method之間的關係(雖然好像常放在一起講?) 09/08 09:48
21F：→ hwanger : 但是在考慮binomial expansion of (1+t)^n時是有收 09/08 09:51
22F：→ hwanger : 歛半徑1的 所以X^r=(μ+(X-μ))^r~g(μ) + 09/08 09:56
23F：→ hwanger : (X-μ)g'(μ)+(X-μ)g"(μ)/2是至少要求|X|<|μ|的 09/08 09:57
24F：→ hwanger : 打錯是要求|X-μ| < |μ| 所以如果要用積分彌補這個 09/08 10:02
25F：→ hwanger : 問題的話 P(|X-μ|>=|μ|)要很小才行 或換句話說 09/08 10:04
26F：→ hwanger : σ/μ要很小才行 不過目前我想不出來用數學的方式來 09/08 10:06
27F：→ hwanger : 介定應該多小 望版上能人可以指點 09/08 10:06
28F：→ hwanger : 可能直接找一個funciton ε(*,*) [甚至一個ρ(*,*)] 09/08 13:12
29F：→ hwanger : 滿足 [ρ(σ/μ,r) <=] |E(X^r-g(μ)- 09/08 13:14
30F：→ hwanger : (X-μ)g"(μ)/2)|<=ε(σ/μ,r) 可以直接表達用泰勒 09/08 13:15
31F：→ hwanger : 展開式作逼近的侷限性 我再想想看 09/08 13:17