作者ethan0221 (Ethan)
看板Math
标题[机统] X～常态分配;Y=X的r次方,求Y的pdf
时间Tue Sep 8 01:37:10 2020
Derive the distribution (pdf) of the r-th power y of a normally distributed
random variable x, that is, y=x^r, x ~ N(μ, σ2). Assume r > 0. What happens
if r = 0 or r < 0? What is E(1/x) if x is normal? Then find the mean of x^r
using the approximation by the delta method. What is required for the delta
method approximation to be valid?
我假设r-th power的r是整数,下面的图片是我假设r是偶数的情况,
但不知道奇数的话要怎麽处理
题目也还有问=0或小於0的情况会怎麽样
第二张图是算E(X^r)不知道题目问的delta method有什麽条件,谢谢！
https://imgur.com/rPsibTY
https://imgur.com/wXQbeWc
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1F：→ hwanger : 我觉得对於一般r而言 不太能定义并讨论X^r 所以也只 09/08 09:06
2F：→ hwanger : 考虑r是整数 希望版上能人能补充 09/08 09:08
3F：→ hwanger : 当r是正奇数时 f(t)=t^r是increasing and bijective 09/08 09:11
4F：→ hwanger : 所以 P(X^r<=y) = P(X<=y^{1/r}) 接着沿原po的作法 09/08 09:14
5F：→ hwanger : 继续做就好了 当r=0时 X^0=1 所以CDF是H(x-1) 而pdf 09/08 09:16
6F：→ hwanger : 是δ(x-1) 其中H是heaviside step function δ是 09/08 09:18
7F：→ hwanger : Dirac delta function 09/08 09:18
8F：→ hwanger : 同样可以分析 当r为负奇数时 有 09/08 09:21
9F：→ hwanger : (当y>=0时) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{-1/r}) 09/08 09:23
10F：→ hwanger : (当y<=0时) P(X^r<=y) = P(y^{-1/r}<=X<=0) 09/08 09:25
11F：→ hwanger : 而r为负偶数时 有 09/08 09:27
12F：→ hwanger : (当y>=0时) P(|X|>=y^{1/r}) = P(X>=y^{1/r}) + 09/08 09:32
13F：→ hwanger : P(X<=-y^{1/r}) (当y<=0时)P(X^r<=y)=0 09/08 09:33
14F：→ hwanger : 上面r是负奇数时 弄错r的正负 更正如下 09/08 09:36
15F：→ hwanger : (当y>=0时) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{1/r}) 09/08 09:37
16F：→ hwanger : (当y<=0时) P(X^r<=y) = P(y^{1/r}<=X<=0) 09/08 09:37
17F：→ hwanger : 看不太懂你证E(1/x)发散的理由 不过积分中exp的部份 09/08 09:39
18F：→ hwanger : 在x=0附近大约是常数 所以原积分不是L^1可积 09/08 09:42
19F：→ hwanger : 然後作逼近的部份 看不太懂Taylor展开和delta 09/08 09:46
20F：→ hwanger : method之间的关系(虽然好像常放在一起讲?) 09/08 09:48
21F：→ hwanger : 但是在考虑binomial expansion of (1+t)^n时是有收 09/08 09:51
22F：→ hwanger : 歛半径1的 所以X^r=(μ+(X-μ))^r~g(μ) + 09/08 09:56
23F：→ hwanger : (X-μ)g'(μ)+(X-μ)g"(μ)/2是至少要求|X|<|μ|的 09/08 09:57
24F：→ hwanger : 打错是要求|X-μ| < |μ| 所以如果要用积分弥补这个 09/08 10:02
25F：→ hwanger : 问题的话 P(|X-μ|>=|μ|)要很小才行 或换句话说 09/08 10:04
26F：→ hwanger : σ/μ要很小才行 不过目前我想不出来用数学的方式来 09/08 10:06
27F：→ hwanger : 介定应该多小 望版上能人可以指点 09/08 10:06
28F：→ hwanger : 可能直接找一个funciton ε(*,*) [甚至一个ρ(*,*)] 09/08 13:12
29F：→ hwanger : 满足 [ρ(σ/μ,r) <=] |E(X^r-g(μ)- 09/08 13:14
30F：→ hwanger : (X-μ)g"(μ)/2)|<=ε(σ/μ,r) 可以直接表达用泰勒 09/08 13:15
31F：→ hwanger : 展开式作逼近的局限性 我再想想看 09/08 13:17