作者choun (原來跑步這麼舒服)
看板Math
標題[中學] 兩線交點軌跡的圖形
時間Mon Sep 7 12:43:12 2020
坐標平面上有兩直線 L: y=ax+a+2 M:y=bx-3b
已知兩直線互相垂直，當實數a,b取不同值時，直線L，M的交點P也會隨之改變
並落在圖形N上
試證明，圖形N是圓的一部分
我解出交點的x座標為 (3-2a-a^2)/(1+a^2)
y座標為 (4a+2)/(1+a^2)
然後就進行不下去了…
用desmos畫圖出來，感覺得到一部分是圓，應該是沒錯…
但是證不出來… 還請大大幫忙！謝謝。
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1F：推 reye : 把原式寫成y-2=a(x+1),y-0=(-1/a)(x-3) 09/07 12:51
2F：→ reye : 圓心是不是呼之欲出了 09/07 12:52
3F：推 reye : 咦，好像不太對，我想清楚點再回覆 09/07 12:54
4F：推 reye : 應該是以(-1,2)(3,0)為直徑的圓 09/07 12:57
5F：→ reye : 因為直徑對應的圓周角是直角 09/07 12:58
6F：推 hwanger : r大的解法很漂亮 09/07 13:37
7F：→ hwanger : 這裡我順著原po的想法繼續 令(x_sol,y_sol)為原po解 09/07 13:38
8F：→ hwanger : 出來的解 則我們想要找到c,d使得對所有a 滿足 09/07 13:39
9F：→ hwanger : (x_sol-c)^2+(y_sol-d)^2是常數 展開並化簡一下得 09/07 13:41
10F：→ hwanger : (c^2+d^2+2c+1)a^2+(4c-8d+4)a+(c^2+d^2-6c-4d+13) 09/07 13:45
11F：→ hwanger : 要是a^2+1的常數倍(對於所有a) 所以二次項係數=常數 09/07 13:46
12F：→ hwanger : 項係數 一次項係數=0 解得 c=1 d=1 09/07 13:47
13F：→ hwanger : 代回去(x_sol-1)^2+(y_sol-1)^2=5 就用代數的方法證 09/07 13:48
14F：→ hwanger : 完了 09/07 13:48
15F：→ hwanger : 下面是用來硬算的程式 (使用SageMath) 09/07 14:06
17F：→ choun : 謝謝樓上大大！感謝 09/08 00:17