作者choun (原来跑步这麽舒服)
看板Math
标题[中学] 两线交点轨迹的图形
时间Mon Sep 7 12:43:12 2020
坐标平面上有两直线 L: y=ax+a+2 M:y=bx-3b
已知两直线互相垂直，当实数a,b取不同值时，直线L，M的交点P也会随之改变
并落在图形N上
试证明，图形N是圆的一部分
我解出交点的x座标为 (3-2a-a^2)/(1+a^2)
y座标为 (4a+2)/(1+a^2)
然後就进行不下去了…
用desmos画图出来，感觉得到一部分是圆，应该是没错…
但是证不出来… 还请大大帮忙！谢谢。
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1F：推 reye : 把原式写成y-2=a(x+1),y-0=(-1/a)(x-3) 09/07 12:51
2F：→ reye : 圆心是不是呼之欲出了 09/07 12:52
3F：推 reye : 咦，好像不太对，我想清楚点再回覆 09/07 12:54
4F：推 reye : 应该是以(-1,2)(3,0)为直径的圆 09/07 12:57
5F：→ reye : 因为直径对应的圆周角是直角 09/07 12:58
6F：推 hwanger : r大的解法很漂亮 09/07 13:37
7F：→ hwanger : 这里我顺着原po的想法继续 令(x_sol,y_sol)为原po解 09/07 13:38
8F：→ hwanger : 出来的解 则我们想要找到c,d使得对所有a 满足 09/07 13:39
9F：→ hwanger : (x_sol-c)^2+(y_sol-d)^2是常数 展开并化简一下得 09/07 13:41
10F：→ hwanger : (c^2+d^2+2c+1)a^2+(4c-8d+4)a+(c^2+d^2-6c-4d+13) 09/07 13:45
11F：→ hwanger : 要是a^2+1的常数倍(对於所有a) 所以二次项系数=常数 09/07 13:46
12F：→ hwanger : 项系数 一次项系数=0 解得 c=1 d=1 09/07 13:47
13F：→ hwanger : 代回去(x_sol-1)^2+(y_sol-1)^2=5 就用代数的方法证 09/07 13:48
14F：→ hwanger : 完了 09/07 13:48
15F：→ hwanger : 下面是用来硬算的程式 (使用SageMath) 09/07 14:06
17F：→ choun : 谢谢楼上大大！感谢 09/08 00:17