作者ppu12372 (高能兒)
看板Math
標題[幾何] 正五邊型,求角度
時間Wed Sep 2 19:13:07 2020
https://reurl.cc/gmz52b
圖中的五邊形是正五邊形
求問號處的角度
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1F：推 hwanger : 用正弦定理硬算的結果是18° 09/03 09:06
2F：→ AnnaOuO : 沒答案 題目應該有其他描述 09/03 09:32
3F：推 hwanger : ??? 條件是充足的呀 還是我錯誤理解題目了 是否可以 09/03 09:48
4F：→ hwanger : 麻煩A大提供兩個以上例子的造法 不好意思打擾你了 09/03 09:50
5F：→ hwanger : 謝謝 09/03 09:50
6F：推 hwanger : 還是可以看看我下列的想法哪裡有誤 不好意思 09/03 10:19
7F：→ hwanger : 不失一般性 令正五邊形邊長為1 09/03 10:19
8F：→ hwanger : 令正五邊形的頂點從最上面一個開始 逆時鐘依序為A,B 09/03 10:19
9F：→ hwanger : C,D,E 令圖中直角三角形垂足頂點為F, 剩下一角頂點 09/03 10:20
10F：→ hwanger : 為G 09/03 10:20
11F：→ hwanger : 令θ=∠BAF, δ=∠GED, x=BF, z=CG 09/03 10:21
12F：→ hwanger : 在ΔABF,ΔCGF,ΔGDE上使用正弦定理 則我們有 09/03 10:21
13F：→ hwanger : x=sinθ/sin(72°-θ) ......(1) 09/03 10:22
14F：→ hwanger : tan(36°)=FG/AF=(1-x)sinθ/(x sin(54°-θ)) (2) 09/03 10:23
15F：→ hwanger : z = (1-x)sin(18°+θ)/sin(54°-θ) ......(3) 09/03 10:23
16F：→ hwanger : sin(δ)/sin(72°-δ)=1-z ......(4) 09/03 10:24
17F：→ hwanger : 四條式子解四個變數 其中θ,δ落在(0.π/2) 09/03 10:24
18F：推 hwanger : 令α=18°+θ 則由(1)和(2) 我們有 09/03 10:45
19F：→ hwanger : tan(θ)=(tan(36°)sin(54°)-2cos(36°)sin(36°)) 09/03 10:46
20F：→ hwanger : /(tan(36°)cos(54°)-2cos^2(36°)) 09/03 10:47
21F：→ hwanger : tan(α)=(tan(36°)sin(72°)-2cos(36°)sin(54°)) 09/03 10:47
22F：→ hwanger : /(tan(36°)cos(72°)-2cos(36°)cos(54°)) 09/03 10:48
23F：→ hwanger : 並且進一步由(3)和(4)可推得 09/03 10:48
24F：→ hwanger : sin(δ)/sin(72°-δ)=1-tan(α)tan(36°) 09/03 10:49
25F：→ hwanger : 令r := 1-tan(α)tan(36°) 則 09/03 10:49
26F：→ hwanger : tan(δ)=r*sin(72°)/(1+r*cos(72°)) 即可求δ 09/03 10:50
27F：推 AnnaOuO : 阿 是我想錯了 本以為題目的條件可以畫出其他圖 09/03 11:18
28F：推 hwanger : XD 我原本也是這麼想的 那有沒有一個非計算的證明? 09/03 11:47
29F：→ wohtp : 如果樓上答案沒錯的話，那塊看起來像長方形的真的就 09/03 16:20
30F：→ wohtp : 是長方形，四個角都是直角 09/03 16:20
31F：→ wohtp : 從這裡反推回去再證明是唯一解就好 09/03 16:21
32F：→ wohtp : 如果這是紙筆競賽題，可以猜測答案必須很漂亮，所以 09/03 16:25
33F：→ wohtp : 常比賽的人可能就會直接猜長方形 09/03 16:26
34F：→ wohtp : （所以我很討厭那些數學競賽，因為有這種走火入魔的 09/03 16:29
35F：→ wohtp : 題目存在） 09/03 16:29
36F：推 hwanger : 你可以用SageMath驗証tan(δ)=tan(18°) 如下 09/03 18:30
38F：→ hwanger : 用我上述的符號 AFGE只有共圓 並非長方形 否則θ必 09/03 18:32
39F：→ hwanger : 須為18° 但tan(θ)=0.41188805392... 09/03 18:34
40F：推 hwanger : 我一開始就有在猜測θ=18°但很就推翻這個想法了 09/03 18:48
41F：推 hwanger : 另外SageMath是symbolic computation的 它算出來是0 09/03 18:50
42F：→ hwanger : 就真的是0 而不是數值計算上接近0而已 09/03 18:51
43F：推 mack : 請問hwanger大大 您的第(2)式怎麼看出來的 09/03 22:49
44F：推 ejialan : 其他數字都很漂亮 x= 0.5,z=(sqrt(5)-1)/2 就θ很醜 09/03 22:54
45F：→ ejialan : tan(θ)=sqrt(25-2*sqrt(5))/11 09/03 22:55
46F：→ ejialan : F是BC中點 CG長度是黃金比例倒數 09/03 22:58
47F：→ ejialan : (2)式應該是FG和AF在各自三角形對角都是108度 09/03 23:08
48F：→ ejialan : 所以取正弦之後約掉了 09/03 23:08
49F：推 hwanger : (2)分成兩部份 tan(36°)=FG/AF就是按照直角三角形 09/03 23:11
50F：→ hwanger : 在ΔABF使用正弦定理 AF/sin(108°)=x/sin(θ)...(a 09/03 23:14
51F：→ hwanger : 而在ΔFCG中 ∠FGC=72°-∠CFG=72°-(90°-∠BFA)= 09/03 23:19
52F：→ hwanger : -18°+∠BFA =-18°+(72°-θ)=54°-θ 09/03 23:22
53F：→ hwanger : 由正弦定理得FG/sin(108°)=(1-x)/sin(54°-θ)..(b 09/03 23:25
54F：→ hwanger : (b 除以 (a 即得第(2)式 09/03 23:26
55F：推 hwanger : XD 沒注意到e大幫我回答了 謝謝 09/03 23:35
56F：推 hwanger : 感謝e大將x算出來 終於找到一個純幾何的證明了 09/04 10:47
57F：→ hwanger : 為了證明的完整性 下列將重覆符號的定義 09/04 10:49
58F：→ hwanger : 令正五邊形的頂點從最上面一個開始 逆時鐘依序為A,B 09/04 10:49
59F：→ hwanger : C,D,E 09/04 10:50
60F：→ hwanger : 令圖中直角三角形垂足頂點為F 剩下一角頂點為G 09/04 10:51
61F：→ hwanger : 令AG中點為H 延伸CH交AE於P 09/04 10:53
62F：推 hwanger : 因為∠FHG+∠FCG=180° 所以FCGH四點共圓 09/04 10:57
63F：→ hwanger : 故∠HCF=∠FGH=54° 推得CP為∠BCD的角平分線 09/04 11:02
64F：→ hwanger : 所以P為AE中點且CP垂直AE 進一步考慮ΔAGE 09/04 11:03
65F：→ hwanger : 因為AH/AG=1/2=AP/AE 所以PH//EG 得∠AEG=90° 09/04 11:05
66F：推 hwanger : 所以得到∠GED=18° 證畢 09/04 11:07
67F：推 opeminbod001: 做一個外接圓 中間那條線就是直徑 這樣就知道所求 09/07 09:57
68F：→ opeminbod001: 角旁那個角也90度 所以所求108-90=18(度) 09/07 09:57
69F：推 hwanger : ??? 不好意思 想問一下O大 是如何看出四點共圓的 09/07 23:44
70F：→ hwanger : 我這邊卡住了 抱歉 09/07 23:44
71F：→ reye : 嗯，要先證明四點共圓沒錯 09/09 23:07