作者ppu12372 (高能儿)
看板Math
标题[几何] 正五边型,求角度
时间Wed Sep 2 19:13:07 2020
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图中的五边形是正五边形
求问号处的角度
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1F：推 hwanger : 用正弦定理硬算的结果是18° 09/03 09:06
2F：→ AnnaOuO : 没答案 题目应该有其他描述 09/03 09:32
3F：推 hwanger : ??? 条件是充足的呀 还是我错误理解题目了 是否可以 09/03 09:48
4F：→ hwanger : 麻烦A大提供两个以上例子的造法 不好意思打扰你了 09/03 09:50
5F：→ hwanger : 谢谢 09/03 09:50
6F：推 hwanger : 还是可以看看我下列的想法哪里有误 不好意思 09/03 10:19
7F：→ hwanger : 不失一般性 令正五边形边长为1 09/03 10:19
8F：→ hwanger : 令正五边形的顶点从最上面一个开始 逆时钟依序为A,B 09/03 10:19
9F：→ hwanger : C,D,E 令图中直角三角形垂足顶点为F, 剩下一角顶点 09/03 10:20
10F：→ hwanger : 为G 09/03 10:20
11F：→ hwanger : 令θ=∠BAF, δ=∠GED, x=BF, z=CG 09/03 10:21
12F：→ hwanger : 在ΔABF,ΔCGF,ΔGDE上使用正弦定理 则我们有 09/03 10:21
13F：→ hwanger : x=sinθ/sin(72°-θ) ......(1) 09/03 10:22
14F：→ hwanger : tan(36°)=FG/AF=(1-x)sinθ/(x sin(54°-θ)) (2) 09/03 10:23
15F：→ hwanger : z = (1-x)sin(18°+θ)/sin(54°-θ) ......(3) 09/03 10:23
16F：→ hwanger : sin(δ)/sin(72°-δ)=1-z ......(4) 09/03 10:24
17F：→ hwanger : 四条式子解四个变数 其中θ,δ落在(0.π/2) 09/03 10:24
18F：推 hwanger : 令α=18°+θ 则由(1)和(2) 我们有 09/03 10:45
19F：→ hwanger : tan(θ)=(tan(36°)sin(54°)-2cos(36°)sin(36°)) 09/03 10:46
20F：→ hwanger : /(tan(36°)cos(54°)-2cos^2(36°)) 09/03 10:47
21F：→ hwanger : tan(α)=(tan(36°)sin(72°)-2cos(36°)sin(54°)) 09/03 10:47
22F：→ hwanger : /(tan(36°)cos(72°)-2cos(36°)cos(54°)) 09/03 10:48
23F：→ hwanger : 并且进一步由(3)和(4)可推得 09/03 10:48
24F：→ hwanger : sin(δ)/sin(72°-δ)=1-tan(α)tan(36°) 09/03 10:49
25F：→ hwanger : 令r := 1-tan(α)tan(36°) 则 09/03 10:49
26F：→ hwanger : tan(δ)=r*sin(72°)/(1+r*cos(72°)) 即可求δ 09/03 10:50
27F：推 AnnaOuO : 阿 是我想错了 本以为题目的条件可以画出其他图 09/03 11:18
28F：推 hwanger : XD 我原本也是这麽想的 那有没有一个非计算的证明? 09/03 11:47
29F：→ wohtp : 如果楼上答案没错的话，那块看起来像长方形的真的就 09/03 16:20
30F：→ wohtp : 是长方形，四个角都是直角 09/03 16:20
31F：→ wohtp : 从这里反推回去再证明是唯一解就好 09/03 16:21
32F：→ wohtp : 如果这是纸笔竞赛题，可以猜测答案必须很漂亮，所以 09/03 16:25
33F：→ wohtp : 常比赛的人可能就会直接猜长方形 09/03 16:26
34F：→ wohtp : （所以我很讨厌那些数学竞赛，因为有这种走火入魔的 09/03 16:29
35F：→ wohtp : 题目存在） 09/03 16:29
36F：推 hwanger : 你可以用SageMath验证tan(δ)=tan(18°) 如下 09/03 18:30
38F：→ hwanger : 用我上述的符号 AFGE只有共圆 并非长方形 否则θ必 09/03 18:32
39F：→ hwanger : 须为18° 但tan(θ)=0.41188805392... 09/03 18:34
40F：推 hwanger : 我一开始就有在猜测θ=18°但很就推翻这个想法了 09/03 18:48
41F：推 hwanger : 另外SageMath是symbolic computation的 它算出来是0 09/03 18:50
42F：→ hwanger : 就真的是0 而不是数值计算上接近0而已 09/03 18:51
43F：推 mack : 请问hwanger大大 您的第(2)式怎麽看出来的 09/03 22:49
44F：推 ejialan : 其他数字都很漂亮 x= 0.5,z=(sqrt(5)-1)/2 就θ很丑 09/03 22:54
45F：→ ejialan : tan(θ)=sqrt(25-2*sqrt(5))/11 09/03 22:55
46F：→ ejialan : F是BC中点 CG长度是黄金比例倒数 09/03 22:58
47F：→ ejialan : (2)式应该是FG和AF在各自三角形对角都是108度 09/03 23:08
48F：→ ejialan : 所以取正弦之後约掉了 09/03 23:08
49F：推 hwanger : (2)分成两部份 tan(36°)=FG/AF就是按照直角三角形 09/03 23:11
50F：→ hwanger : 在ΔABF使用正弦定理 AF/sin(108°)=x/sin(θ)...(a 09/03 23:14
51F：→ hwanger : 而在ΔFCG中 ∠FGC=72°-∠CFG=72°-(90°-∠BFA)= 09/03 23:19
52F：→ hwanger : -18°+∠BFA =-18°+(72°-θ)=54°-θ 09/03 23:22
53F：→ hwanger : 由正弦定理得FG/sin(108°)=(1-x)/sin(54°-θ)..(b 09/03 23:25
54F：→ hwanger : (b 除以 (a 即得第(2)式 09/03 23:26
55F：推 hwanger : XD 没注意到e大帮我回答了 谢谢 09/03 23:35
56F：推 hwanger : 感谢e大将x算出来 终於找到一个纯几何的证明了 09/04 10:47
57F：→ hwanger : 为了证明的完整性 下列将重覆符号的定义 09/04 10:49
58F：→ hwanger : 令正五边形的顶点从最上面一个开始 逆时钟依序为A,B 09/04 10:49
59F：→ hwanger : C,D,E 09/04 10:50
60F：→ hwanger : 令图中直角三角形垂足顶点为F 剩下一角顶点为G 09/04 10:51
61F：→ hwanger : 令AG中点为H 延伸CH交AE於P 09/04 10:53
62F：推 hwanger : 因为∠FHG+∠FCG=180° 所以FCGH四点共圆 09/04 10:57
63F：→ hwanger : 故∠HCF=∠FGH=54° 推得CP为∠BCD的角平分线 09/04 11:02
64F：→ hwanger : 所以P为AE中点且CP垂直AE 进一步考虑ΔAGE 09/04 11:03
65F：→ hwanger : 因为AH/AG=1/2=AP/AE 所以PH//EG 得∠AEG=90° 09/04 11:05
66F：推 hwanger : 所以得到∠GED=18° 证毕 09/04 11:07
67F：推 opeminbod001: 做一个外接圆 中间那条线就是直径 这样就知道所求 09/07 09:57
68F：→ opeminbod001: 角旁那个角也90度 所以所求108-90=18(度) 09/07 09:57
69F：推 hwanger : ??? 不好意思 想问一下O大 是如何看出四点共圆的 09/07 23:44
70F：→ hwanger : 我这边卡住了 抱歉 09/07 23:44
71F：→ reye : 嗯，要先证明四点共圆没错 09/09 23:07