作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
標題[線代] 正交矩陣可不可以正交對角化
時間Fri Aug 28 21:16:26 2020
我學到說
A屬於複矩陣，A : normal iff A is unitary diagonalizable
A屬於 實矩陣，A : symmetric iff A is orthogonal diagonalizable
想問一下 以下推論過程：
套第一條，正交矩陣的確屬於複矩陣，只是剛好元素都實數，他也是normal operator 所以可以 unitary對角化
這邊我卡住了，可以 unitary 對角化，是不是不代表可以正交對角化？
像正交矩陣，他的特徵值可能不是實數，所以造成他可以 unitary 對角化，但不能正交對角化對不對？ （如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱？）
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1F：推 hwanger : 你可以試著證證看 a unitary diagonalizable matrix 08/28 21:28
2F：→ hwanger : is orthogonal diagonalizable iff all its 08/28 21:28
3F：→ hwanger : eigenvalues are real 08/28 21:29
4F：→ hwanger : 少一個條件 a real unitary diagonalizable matrix 08/28 21:29
5F：→ hwanger : is orthogonal diagonalizable iff all its 08/28 21:30
6F：→ hwanger : eigenvalues are real 08/28 21:30
7F：→ hwanger : 加上你前一篇問的 a real matrix is symmetric iff 08/28 21:31
8F：→ hwanger : x*Ax is real for all complex vectors x 08/28 21:32
9F：→ hwanger : 你已經開始把知識零散化了 而沒有串起來 冏 08/28 21:34
10F：→ hwanger : "可以 unitary 對角化，是不是...">>>對 還要加上 08/28 21:35
11F：→ hwanger : eigenvalue必需全為實數 08/28 21:35
12F：→ hwanger : "像正交矩陣，他的特徵值可能不是...">>>對 08/28 21:37
13F：→ hwanger : "如果可以的話 會變成正交矩陣必為對稱">>>對 08/28 21:38
14F：→ hwanger : 簡單來說 所有正交矩陣的集合和所有對稱矩陣的集合 08/28 21:39
15F：→ hwanger : 是兩個交集非空但互不包含的集合 08/28 21:40
16F：→ NTUmaki : 好的...感謝 我一直被實數複數搞混 有時候條件寫屬 08/28 21:41
17F：→ NTUmaki : 於複數 我就開始想說 實數是不是也可套用...但有的 08/28 21:41
18F：→ NTUmaki : 條件實數複數分開寫 我就又開始想 如果是實數是不是 08/28 21:41
19F：→ NTUmaki : 要兩種都符合 08/28 21:41
20F：推 hwanger : 這邊的確很多結果基本上都是針對複數的(因為任何多 08/28 21:48
21F：→ hwanger : 項式在複數都有解) 所以基本上你只要把也針對實數的 08/28 21:50
22F：→ hwanger : 結果挑出來特別看看就可以 08/28 21:51
23F：推 hwanger : 另外 不論是unitary decomposition或orthogonal 08/28 21:53
24F：→ hwanger : decomposition 兩者都是eigen-decomposition的特例 08/28 21:54
25F：→ hwanger : 所以orthogonal decomposition存在的最基本條件就是 08/28 21:55
26F：推 wohtp : [(0 ，1)，(-1，0)] 08/28 21:56
恩！可以unitary對角化 但eigenvector不會orthogonal但是會unitary
27F：→ wohtp : 對角化試試看？ 08/28 21:56
28F：→ hwanger : 所有的eigenvalue都是實數 08/28 21:56
29F：→ hwanger : 而正交矩陣基本上就是旋轉矩陣和鏡射矩陣的合成 08/28 21:57
30F：→ hwanger : 而任一個non-trivial旋轉矩陣基本上eigenvalue不可 08/28 21:59
31F：→ hwanger : 能全是實數 比如說再二維上 你旋轉後 就沒有任何一 08/28 22:01
32F：→ hwanger : 向量被保持在同一方向或反方向了 08/28 22:03
33F：推 hwanger : 而你一旦沒了實的eigenvector 就不會有實的eigenvle 08/28 22:05
34F：推 hwanger : 你或許可以試著開始畫一些有關normal, Hermitian, 08/28 22:11
35F：→ hwanger : anti-Hermitian, symmetric, skew-symmetric, 08/28 22:12
36F：→ hwanger : unitary, orthogonal的Venn diagram 應該可以幫助你 08/28 22:13
37F：→ hwanger : 理解一些事 這邊討論的主體基本上就這些矩陣 08/28 22:15
38F：→ hwanger : 而這邊基本上只關心unitary decomposition和 08/28 22:16
39F：→ hwanger : orthogonal decomposition而已 08/28 22:16
40F：→ hwanger : 所以性質真的不多 08/28 22:17
41F：推 hwanger : 如果可以 先不要和quadratic form或一些不等式作連 08/28 22:27
42F：→ hwanger : 結 先弄清這些矩陣之間的關係會比較好 08/28 22:28
※ 編輯: NTUmaki (39.8.161.10 臺灣), 08/28/2020 22:32:42
43F：→ NTUmaki : 好的 感謝！ 我再自己整理一下 08/28 22:33