作者NTUmaki (西木野真姬)
看板Math
标题[线代] 正交矩阵可不可以正交对角化
时间Fri Aug 28 21:16:26 2020
我学到说
A属於复矩阵，A : normal iff A is unitary diagonalizable
A属於 实矩阵，A : symmetric iff A is orthogonal diagonalizable
想问一下 以下推论过程：
套第一条，正交矩阵的确属於复矩阵，只是刚好元素都实数，他也是normal operator 所以可以 unitary对角化
这边我卡住了，可以 unitary 对角化，是不是不代表可以正交对角化？
像正交矩阵，他的特徵值可能不是实数，所以造成他可以 unitary 对角化，但不能正交对角化对不对？ （如果可以的话 会变成正交矩阵必为对称？）
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1F：推 hwanger : 你可以试着证证看 a unitary diagonalizable matrix 08/28 21:28
2F：→ hwanger : is orthogonal diagonalizable iff all its 08/28 21:28
3F：→ hwanger : eigenvalues are real 08/28 21:29
4F：→ hwanger : 少一个条件 a real unitary diagonalizable matrix 08/28 21:29
5F：→ hwanger : is orthogonal diagonalizable iff all its 08/28 21:30
6F：→ hwanger : eigenvalues are real 08/28 21:30
7F：→ hwanger : 加上你前一篇问的 a real matrix is symmetric iff 08/28 21:31
8F：→ hwanger : x*Ax is real for all complex vectors x 08/28 21:32
9F：→ hwanger : 你已经开始把知识零散化了 而没有串起来 冏 08/28 21:34
10F：→ hwanger : "可以 unitary 对角化，是不是...">>>对 还要加上 08/28 21:35
11F：→ hwanger : eigenvalue必需全为实数 08/28 21:35
12F：→ hwanger : "像正交矩阵，他的特徵值可能不是...">>>对 08/28 21:37
13F：→ hwanger : "如果可以的话 会变成正交矩阵必为对称">>>对 08/28 21:38
14F：→ hwanger : 简单来说 所有正交矩阵的集合和所有对称矩阵的集合 08/28 21:39
15F：→ hwanger : 是两个交集非空但互不包含的集合 08/28 21:40
16F：→ NTUmaki : 好的...感谢 我一直被实数复数搞混 有时候条件写属 08/28 21:41
17F：→ NTUmaki : 於复数 我就开始想说 实数是不是也可套用...但有的 08/28 21:41
18F：→ NTUmaki : 条件实数复数分开写 我就又开始想 如果是实数是不是 08/28 21:41
19F：→ NTUmaki : 要两种都符合 08/28 21:41
20F：推 hwanger : 这边的确很多结果基本上都是针对复数的(因为任何多 08/28 21:48
21F：→ hwanger : 项式在复数都有解) 所以基本上你只要把也针对实数的 08/28 21:50
22F：→ hwanger : 结果挑出来特别看看就可以 08/28 21:51
23F：推 hwanger : 另外 不论是unitary decomposition或orthogonal 08/28 21:53
24F：→ hwanger : decomposition 两者都是eigen-decomposition的特例 08/28 21:54
25F：→ hwanger : 所以orthogonal decomposition存在的最基本条件就是 08/28 21:55
26F：推 wohtp : [(0 ，1)，(-1，0)] 08/28 21:56
恩！可以unitary对角化 但eigenvector不会orthogonal但是会unitary
27F：→ wohtp : 对角化试试看？ 08/28 21:56
28F：→ hwanger : 所有的eigenvalue都是实数 08/28 21:56
29F：→ hwanger : 而正交矩阵基本上就是旋转矩阵和镜射矩阵的合成 08/28 21:57
30F：→ hwanger : 而任一个non-trivial旋转矩阵基本上eigenvalue不可 08/28 21:59
31F：→ hwanger : 能全是实数 比如说再二维上 你旋转後 就没有任何一 08/28 22:01
32F：→ hwanger : 向量被保持在同一方向或反方向了 08/28 22:03
33F：推 hwanger : 而你一旦没了实的eigenvector 就不会有实的eigenvle 08/28 22:05
34F：推 hwanger : 你或许可以试着开始画一些有关normal, Hermitian, 08/28 22:11
35F：→ hwanger : anti-Hermitian, symmetric, skew-symmetric, 08/28 22:12
36F：→ hwanger : unitary, orthogonal的Venn diagram 应该可以帮助你 08/28 22:13
37F：→ hwanger : 理解一些事 这边讨论的主体基本上就这些矩阵 08/28 22:15
38F：→ hwanger : 而这边基本上只关心unitary decomposition和 08/28 22:16
39F：→ hwanger : orthogonal decomposition而已 08/28 22:16
40F：→ hwanger : 所以性质真的不多 08/28 22:17
41F：推 hwanger : 如果可以 先不要和quadratic form或一些不等式作连 08/28 22:27
42F：→ hwanger : 结 先弄清这些矩阵之间的关系会比较好 08/28 22:28
※ 编辑: NTUmaki (39.8.161.10 台湾), 08/28/2020 22:32:42
43F：→ NTUmaki : 好的 感谢！ 我再自己整理一下 08/28 22:33