作者sincerely013 (PS)
看板Math
標題[中學] 繞圈問題
時間Fri Aug 21 16:57:16 2020
［手機排版，若有違規或不妥請告知］
一題有點古老的題目，但很偶然的看到另一種想法，一個觀念一時轉不過來故上站尋求高
手指點。
題目：
甲乙兩人在圓形跑道上從同一點A分別以每秒7公尺、8公尺的速度同時相向而行，直到兩
人同時回到A點才停止，則兩人在中途相遇幾次？
自解：
乙一圈=甲7/8圈，即乙每圈比甲多1/8圈，也就是第8圈會在起點相遇，中途相遇的圈數為
7圈，每圈相遇兩次，所以中途相遇14次。
偶然看到的想法：
設甲乙兩人x秒相遇一次，所以跑道長15x
令兩人相遇y次，則甲走7xy，乙走8xy
∵快的比慢的必多走一圈 ∴ 8xy-7xy=15x
則y=15，最後一次不算中途，∴14次。
我覺得上面的想法很有趣，但對於其中「快的比慢的必多走一圈」的概念轉不過來，不知
道板上高手們是否能提點一下？懇請指點迷津，謝謝各位。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.65.238 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1598000238.A.32F.html
1F：推 hwanger : 剛好可以算而已? 如果甲乙速度比5:8會怎樣? 08/21 17:42
2F：推 hwanger : 還沒仔細check 不過甲乙速度比m:n m,n正整數且gcd=1 08/21 18:05
3F：→ hwanger : 則第一次在原點相遇 走的圈數差應該是|m-n| 08/21 18:05
4F：→ sincerely013: 我也認為可能是剛好這題快的比慢的多跑一圈，主要是 08/21 18:41
5F：→ sincerely013: 想確定如果速度比變為其他值，類似11:17，會不會就 08/21 18:41
6F：→ sincerely013: 是變成差6圈？ 08/21 18:41
7F：→ sincerely013: 事實上我對於「兩人相遇y次」的這個假設感覺特別妙 08/21 18:43
8F：→ sincerely013: ，類似天外飛來一筆的想法，所以覺得這個解法蠻有 08/21 18:44
9F：→ sincerely013: 趣的。 08/21 18:44
10F：推 hwanger : XDD 我來證明一下我二樓的claim好了 08/21 20:10
11F：→ hwanger : 假設跑道長s 兩人在起點相遇時 甲跑了k圈 乙跑了h圈 08/21 20:11
12F：→ hwanger : 因為跑的時間相同 所以跑的距離正比於跑的速度 可得 08/21 20:12
13F：→ hwanger : ks:hs=m:n 化簡得到kn=mh 因為gcd(m,n)=1 所以m|h且 08/21 20:14
14F：→ hwanger : 打錯 m|k 且 n|h 08/21 20:16
15F：→ hwanger : 而滿足ks:hs=m:n, m|k, n|h最小的k,h分別是m,n 08/21 20:18
16F：→ hwanger : 所以第一次在起點相遇 走的圈數差是 |m-n| 08/21 20:20
17F：推 hwanger : 我之所以會一開始會有二樓的claim 是因為如果兩人速 08/21 20:33
18F：→ hwanger : 度比是無理數的話 則兩人不可能在起點相遇 08/21 20:35
19F：→ hwanger : 現在才發現s大就是原po XDDD 所以你有去算我一樓的 08/21 20:37
20F：→ hwanger : 例子嗎? 冏 08/21 20:37
21F：推 hwanger : 應該說s大其實也可以算自己的11:17的例子呀 XDDD 08/21 21:00
22F：→ hwanger : 因為原po自己本來就有一個算法呀 其實算一下就會得 08/21 21:01
23F：→ hwanger : 到類似的結果 XDDD 08/21 21:02
24F：→ sincerely013: 謝謝h大的回覆，關於11:17我驗證了，目前沒什麼問題 08/21 23:12
25F：→ sincerely013: 。主要是這題是很久以前的建中推甄，偶然看到新見 08/21 23:12
26F：→ sincerely013: 解時眼睛為之一亮，心情太過雀躍。 08/21 23:12
27F：→ sincerely013: 感謝您的回覆，謝謝您 08/21 23:12