作者sincerely013 (PS)
看板Math
标题[中学] 绕圈问题
时间Fri Aug 21 16:57:16 2020
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一题有点古老的题目，但很偶然的看到另一种想法，一个观念一时转不过来故上站寻求高
手指点。
题目：
甲乙两人在圆形跑道上从同一点A分别以每秒7公尺、8公尺的速度同时相向而行，直到两
人同时回到A点才停止，则两人在中途相遇几次？
自解：
乙一圈=甲7/8圈，即乙每圈比甲多1/8圈，也就是第8圈会在起点相遇，中途相遇的圈数为
7圈，每圈相遇两次，所以中途相遇14次。
偶然看到的想法：
设甲乙两人x秒相遇一次，所以跑道长15x
令两人相遇y次，则甲走7xy，乙走8xy
∵快的比慢的必多走一圈 ∴ 8xy-7xy=15x
则y=15，最後一次不算中途，∴14次。
我觉得上面的想法很有趣，但对於其中「快的比慢的必多走一圈」的概念转不过来，不知
道板上高手们是否能提点一下？恳请指点迷津，谢谢各位。
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1F：推 hwanger : 刚好可以算而已? 如果甲乙速度比5:8会怎样? 08/21 17:42
2F：推 hwanger : 还没仔细check 不过甲乙速度比m:n m,n正整数且gcd=1 08/21 18:05
3F：→ hwanger : 则第一次在原点相遇 走的圈数差应该是|m-n| 08/21 18:05
4F：→ sincerely013: 我也认为可能是刚好这题快的比慢的多跑一圈，主要是 08/21 18:41
5F：→ sincerely013: 想确定如果速度比变为其他值，类似11:17，会不会就 08/21 18:41
6F：→ sincerely013: 是变成差6圈？ 08/21 18:41
7F：→ sincerely013: 事实上我对於「两人相遇y次」的这个假设感觉特别妙 08/21 18:43
8F：→ sincerely013: ，类似天外飞来一笔的想法，所以觉得这个解法蛮有 08/21 18:44
9F：→ sincerely013: 趣的。 08/21 18:44
10F：推 hwanger : XDD 我来证明一下我二楼的claim好了 08/21 20:10
11F：→ hwanger : 假设跑道长s 两人在起点相遇时 甲跑了k圈 乙跑了h圈 08/21 20:11
12F：→ hwanger : 因为跑的时间相同 所以跑的距离正比於跑的速度 可得 08/21 20:12
13F：→ hwanger : ks:hs=m:n 化简得到kn=mh 因为gcd(m,n)=1 所以m|h且 08/21 20:14
14F：→ hwanger : 打错 m|k 且 n|h 08/21 20:16
15F：→ hwanger : 而满足ks:hs=m:n, m|k, n|h最小的k,h分别是m,n 08/21 20:18
16F：→ hwanger : 所以第一次在起点相遇 走的圈数差是 |m-n| 08/21 20:20
17F：推 hwanger : 我之所以会一开始会有二楼的claim 是因为如果两人速 08/21 20:33
18F：→ hwanger : 度比是无理数的话 则两人不可能在起点相遇 08/21 20:35
19F：→ hwanger : 现在才发现s大就是原po XDDD 所以你有去算我一楼的 08/21 20:37
20F：→ hwanger : 例子吗? 冏 08/21 20:37
21F：推 hwanger : 应该说s大其实也可以算自己的11:17的例子呀 XDDD 08/21 21:00
22F：→ hwanger : 因为原po自己本来就有一个算法呀 其实算一下就会得 08/21 21:01
23F：→ hwanger : 到类似的结果 XDDD 08/21 21:02
24F：→ sincerely013: 谢谢h大的回覆，关於11:17我验证了，目前没什麽问题 08/21 23:12
25F：→ sincerely013: 。主要是这题是很久以前的建中推甄，偶然看到新见 08/21 23:12
26F：→ sincerely013: 解时眼睛为之一亮，心情太过雀跃。 08/21 23:12
27F：→ sincerely013: 感谢您的回覆，谢谢您 08/21 23:12