作者DLHZ (going faster)
看板Math
標題[微積] 笛卡爾曲線之漸近線
時間Tue Aug 18 00:08:52 2020
令F(x, y) = x^3 + y^3 -3axy = 0
其中 a > 0
假設其漸近線為 yhat = mx + b
由 F(x, mx + b) -> 0 when x -> inf 來求漸近線
則 (1+m^3 )x^3 + (3m^2 b-3am)x^2 + (3mb^2 -3ab)x + b^3 -> 0 when x -> inf
如果從結果 yhat = -x-a 來看
帶入式子前三項係數皆為0
但還有末項的 b^3 不會趨近於零
這樣還能叫做漸近線嗎？
還是我過程哪裡弄錯了？
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1F：推 Vulpix : 第四句開始錯。F(x,yhat)不見得要趨向0。 08/18 03:17
2F：→ Vulpix : 漸進線是要y-yhat趨向0。你可以試試看用你原本的想 08/18 03:21
3F：→ Vulpix : 法套用在x^2-y^2=1上，就知道問題了。 08/18 03:21
4F：推 hwanger : 正如V大所說 我這裡舉另個例子 08/18 06:46
5F：→ hwanger : f(x,y)=xy-1 and x=0 08/18 06:46
6F：推 hwanger : 我想原po會誤以為有那個性質 單純以為 F是連續的 (x 08/18 06:55
7F：→ hwanger : 1,y1),(x2,y2)只要夠靠近 代入F的值就要差不多 08/18 06:55
8F：→ hwanger : 不過這是錯的 因為F不是均勻連續 而(x1,y1),(x2,y2) 08/18 06:55
9F：→ hwanger : 兩者都竭盡全力跑到無窮遠 而不是單純的其中一點傻 08/18 06:55
10F：→ hwanger : 傻地等著另一點來接近它自己 08/18 06:55
11F：推 hwanger : 所以為了找漸近線 建議還是用正規的作法 「將曲線 08/18 07:04
12F：→ hwanger : 的部份寫成函數再用V大作法 y^-y」或用「參數式」 08/18 07:04
13F：→ hwanger : 可以參考英文wiki 08/18 07:04
14F：推 hwanger : 另外所謂的C是G的漸近線 應該是指下列這件事: 考慮G 08/18 07:17
15F：→ hwanger : 的一個unbounded連續部份 當其上的動點p只有一個方 08/18 07:17
16F：→ hwanger : 向前往無限遠 並且當p試圖前往無窮遠時 p和C的距離 08/18 07:17
17F：→ hwanger : 會越來越小 08/18 07:17
18F：→ hwanger : 所以漸近線牽扯到的 實際上是動點對固定線的距離 08/18 07:17
19F：→ hwanger : 而不是動點對動點的距離 08/18 07:17
20F：→ DLHZ : 了解 感謝大家的回答 08/18 08:14
21F：推 Vulpix : 如果按你原始的思路，可以考慮做這件事： 08/18 10:43
22F：→ Vulpix : y=mx+b+o(1)代入F=0，也就是F(x, mx+b +o(1))=0。 08/18 10:46
23F：→ Vulpix : 這樣展開的時候就會看到一些o(1)的相關項，這些可以 08/18 10:47
24F：→ Vulpix : 幫你把b^3消掉。 08/18 10:47
25F：推 hwanger : V大的技巧很實用 又學到一課了 08/18 14:53