作者DLHZ (going faster)
看板Math
标题[微积] 笛卡尔曲线之渐近线
时间Tue Aug 18 00:08:52 2020
令F(x, y) = x^3 + y^3 -3axy = 0
其中 a > 0
假设其渐近线为 yhat = mx + b
由 F(x, mx + b) -> 0 when x -> inf 来求渐近线
则 (1+m^3 )x^3 + (3m^2 b-3am)x^2 + (3mb^2 -3ab)x + b^3 -> 0 when x -> inf
如果从结果 yhat = -x-a 来看
带入式子前三项系数皆为0
但还有末项的 b^3 不会趋近於零
这样还能叫做渐近线吗？
还是我过程哪里弄错了？
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1F：推 Vulpix : 第四句开始错。F(x,yhat)不见得要趋向0。 08/18 03:17
2F：→ Vulpix : 渐进线是要y-yhat趋向0。你可以试试看用你原本的想 08/18 03:21
3F：→ Vulpix : 法套用在x^2-y^2=1上，就知道问题了。 08/18 03:21
4F：推 hwanger : 正如V大所说 我这里举另个例子 08/18 06:46
5F：→ hwanger : f(x,y)=xy-1 and x=0 08/18 06:46
6F：推 hwanger : 我想原po会误以为有那个性质 单纯以为 F是连续的 (x 08/18 06:55
7F：→ hwanger : 1,y1),(x2,y2)只要够靠近 代入F的值就要差不多 08/18 06:55
8F：→ hwanger : 不过这是错的 因为F不是均匀连续 而(x1,y1),(x2,y2) 08/18 06:55
9F：→ hwanger : 两者都竭尽全力跑到无穷远 而不是单纯的其中一点傻 08/18 06:55
10F：→ hwanger : 傻地等着另一点来接近它自己 08/18 06:55
11F：推 hwanger : 所以为了找渐近线 建议还是用正规的作法 「将曲线 08/18 07:04
12F：→ hwanger : 的部份写成函数再用V大作法 y^-y」或用「参数式」 08/18 07:04
13F：→ hwanger : 可以参考英文wiki 08/18 07:04
14F：推 hwanger : 另外所谓的C是G的渐近线 应该是指下列这件事: 考虑G 08/18 07:17
15F：→ hwanger : 的一个unbounded连续部份 当其上的动点p只有一个方 08/18 07:17
16F：→ hwanger : 向前往无限远 并且当p试图前往无穷远时 p和C的距离 08/18 07:17
17F：→ hwanger : 会越来越小 08/18 07:17
18F：→ hwanger : 所以渐近线牵扯到的 实际上是动点对固定线的距离 08/18 07:17
19F：→ hwanger : 而不是动点对动点的距离 08/18 07:17
20F：→ DLHZ : 了解 感谢大家的回答 08/18 08:14
21F：推 Vulpix : 如果按你原始的思路，可以考虑做这件事： 08/18 10:43
22F：→ Vulpix : y=mx+b+o(1)代入F=0，也就是F(x, mx+b +o(1))=0。 08/18 10:46
23F：→ Vulpix : 这样展开的时候就会看到一些o(1)的相关项，这些可以 08/18 10:47
24F：→ Vulpix : 帮你把b^3消掉。 08/18 10:47
25F：推 hwanger : V大的技巧很实用 又学到一课了 08/18 14:53