作者jr80939393 (jr80939393)
看板Math
標題關於dual norm的問題
時間Tue Aug 11 21:34:59 2020
請教板上的高手關於2.119(粉紅色標記)這個結果我一直想不懂，
下面兩張圖分別是文中提到的(2.39)與（2.96），
最下面是我寫的想法，非常感謝！！
https://i.imgur.com/sfeLTuf.jpg
https://i.imgur.com/Xu79TBl.jpg
https://i.imgur.com/5aFH87P.jpghttps://i.imgur.com/4DQtJEu.jpg
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.183.63 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1597152901.A.3A3.html
1F：推 hwanger : 本來想用Lagrange multiplier或Linear Programming 08/11 22:22
2F：→ hwanger : 雖然可行 但打起來有點麻煩 冏 08/11 22:23
3F：→ hwanger : 所以用點高等線性代數的東西 令Q是正定矩陣滿足Q平 08/11 22:25
4F：→ hwanger : 方為P(這一定做得到因為P是正定矩陣) 08/11 22:26
5F：→ hwanger : 則由cauchy schwarz inequality 我們有 08/11 22:27
6F：→ hwanger : |u^tx| = |u^tQ Q^{-1}x| <= |Qu| |Q^{-1}x| = 08/11 22:29
7F：→ hwanger : |u^tPu| 08/11 22:30
8F：→ hwanger : 最大值可以用 x=Pu 得到 08/11 22:31
9F：→ hwanger : cauchy schwarz inequality右邊少了平方 很抱歉 08/11 22:33
10F：推 hwanger : 這裡要注意的是 |u^tPu|=u^tPu 因為P是正定的 08/11 22:39
11F：推 hwanger : 修但幾類 cauchy schwarz inequality右邊本來就不用 08/11 22:58
12F：→ hwanger : 平方 所以原式前半沒有問題 而 |Qu| = 08/11 23:00
13F：→ hwanger : (u^t Q^tQu)^{1/2} = (u^tPu)^{1/2} 08/11 23:01
14F：推 hwanger : 不過最大值應該是用 x=(u^tPu)^{-1/2}Pu 來達到才對 08/11 23:13
15F：推 hwanger : 符號有點混亂 不好意思 08/11 23:17
16F：推 hwanger : 仔細一想 Lagrange multiplier好像也沒那麼難打 08/12 12:42
17F：→ hwanger : 我們要求f(x)=u^tx在 g(x)<= 1上的極值 其中 08/12 12:44
18F：→ hwanger : g(x)=x^tP^{-1}x 這裡因為domain是compact的 所以極 08/12 12:45
19F：→ hwanger : 值存在 因為f是線性的 極值會發生在邊界 考慮 08/12 12:46
20F：→ hwanger : grad. f = s grad. g 則有 x= s^{-1}Pu 代回 g=1 08/12 12:48
21F：→ hwanger : 得到 s = 正負的 (u^tPu)^{-1/2} 所以在 08/12 12:49
22F：→ hwanger : x=(u^tPu)^{-1/2}Pu f會有極大值u^tPu 08/12 12:50
23F：→ hwanger : 線性規劃也是差不多的計算 08/12 12:51