作者jr80939393 (jr80939393)
看板Math
标题关於dual norm的问题
时间Tue Aug 11 21:34:59 2020
请教板上的高手关於2.119(粉红色标记)这个结果我一直想不懂，
下面两张图分别是文中提到的(2.39)与（2.96），
最下面是我写的想法，非常感谢！！
https://i.imgur.com/sfeLTuf.jpg
https://i.imgur.com/Xu79TBl.jpg
https://i.imgur.com/5aFH87P.jpghttps://i.imgur.com/4DQtJEu.jpg
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1F：推 hwanger : 本来想用Lagrange multiplier或Linear Programming 08/11 22:22
2F：→ hwanger : 虽然可行 但打起来有点麻烦 冏 08/11 22:23
3F：→ hwanger : 所以用点高等线性代数的东西 令Q是正定矩阵满足Q平 08/11 22:25
4F：→ hwanger : 方为P(这一定做得到因为P是正定矩阵) 08/11 22:26
5F：→ hwanger : 则由cauchy schwarz inequality 我们有 08/11 22:27
6F：→ hwanger : |u^tx| = |u^tQ Q^{-1}x| <= |Qu| |Q^{-1}x| = 08/11 22:29
7F：→ hwanger : |u^tPu| 08/11 22:30
8F：→ hwanger : 最大值可以用 x=Pu 得到 08/11 22:31
9F：→ hwanger : cauchy schwarz inequality右边少了平方 很抱歉 08/11 22:33
10F：推 hwanger : 这里要注意的是 |u^tPu|=u^tPu 因为P是正定的 08/11 22:39
11F：推 hwanger : 修但几类 cauchy schwarz inequality右边本来就不用 08/11 22:58
12F：→ hwanger : 平方 所以原式前半没有问题 而 |Qu| = 08/11 23:00
13F：→ hwanger : (u^t Q^tQu)^{1/2} = (u^tPu)^{1/2} 08/11 23:01
14F：推 hwanger : 不过最大值应该是用 x=(u^tPu)^{-1/2}Pu 来达到才对 08/11 23:13
15F：推 hwanger : 符号有点混乱 不好意思 08/11 23:17
16F：推 hwanger : 仔细一想 Lagrange multiplier好像也没那麽难打 08/12 12:42
17F：→ hwanger : 我们要求f(x)=u^tx在 g(x)<= 1上的极值 其中 08/12 12:44
18F：→ hwanger : g(x)=x^tP^{-1}x 这里因为domain是compact的 所以极 08/12 12:45
19F：→ hwanger : 值存在 因为f是线性的 极值会发生在边界 考虑 08/12 12:46
20F：→ hwanger : grad. f = s grad. g 则有 x= s^{-1}Pu 代回 g=1 08/12 12:48
21F：→ hwanger : 得到 s = 正负的 (u^tPu)^{-1/2} 所以在 08/12 12:49
22F：→ hwanger : x=(u^tPu)^{-1/2}Pu f会有极大值u^tPu 08/12 12:50
23F：→ hwanger : 线性规划也是差不多的计算 08/12 12:51