作者TeTe (T_T)
看板Math
標題[線代] 低解析度矩陣的特徵值放大情形
時間Tue Aug 11 12:03:18 2020
如題，因為原始矩陣過於龐大無法計算，因此需要將矩陣用維持通量的方式縮小大小，
我覺得想法有點像將高解析度的圖片降階。
但是取 eigenvalue的時候會發現最大的前幾項實部跟虛部都會有放大的現象
想請問版上大大有什麼理論會解釋這個嗎？
另外就是矩陣這種降階方法也會跟做頻域分析取樣太粗而造成 aliasing有一樣的狀況嗎
？需要研究什麼理論才能了解這塊？
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1F：推 hwanger : "用維持通量的方式縮小大小">>>這應該是什麼標準用08/11 13:51
2F：→ hwanger : 語嗎 不是很懂08/11 13:52
3F：→ hwanger : "高解析度的圖片降階">>>壓縮圖片其實還蠻多種演算08/11 13:54
4F：→ hwanger : 法的 而且基本上都是破壞性壓縮08/11 13:55
不好意思，小弟算是工程科系，這方面的用詞不大清楚，如有用錯煩請指教
我指的通量是指在這個 2D domain的物理量在降階過程中需要維持守恆，方法是下面的圖片
https://i.imgur.com/BBSPGgq.jpg
5F：→ hwanger : 探討eigenvalue的變化 主要還是看具體如何縮小矩陣08/11 13:57
6F：→ hwanger : 並且關於eigenvalue的不等式 大部份都是在講08/11 14:00
7F：→ hwanger : Hermitian matrix 對於一般case 則是看singular08/11 14:01
8F：→ hwanger : value08/11 14:03
9F：推 hwanger : "矩陣這種降階方法" >>>一樣 猜不透你如何降階 但破 08/11 14:08
10F：→ hwanger : 壞性壓縮都會有失真的問題 08/11 14:09
※ 編輯: TeTe (118.167.125.184 臺灣), 08/11/2020 14:12:42
11F：推 hwanger : 如你所述 aliasing是因為在連續訊號和有限離散訊號 08/11 14:18
12F：→ hwanger : 之間做轉換所造成的失真 不太確定是否和你的問題相 08/11 14:19
13F：→ hwanger : 關 08/11 14:19
14F：→ TeTe : 這也是我在想的問題，但頻域的 aliasing可以用 co 08/11 14:23
15F：→ TeTe : nvolution去解釋，但對矩陣"取樣"的理論 請問要參 08/11 14:23
16F：→ TeTe : 考哪一個理論？ 08/11 14:23
17F：推 hwanger : "這方面的用詞不大清楚">>>有看過類似處理手法 不過 08/11 14:25
18F：→ hwanger : 我也不知道正確用語是啥 08/11 14:26
19F：→ hwanger : 看過這種方法用在螢幕顯示上 沒看過用在算eigenvalu 08/11 14:29
20F：→ TeTe : 老師是都稱做 coarsify，但查網路上沒什麼研究，可 08/11 14:29
21F：→ TeTe : 能算自己發明的字 08/11 14:29
22F：→ hwanger : 沒看過有專書討論 不過我會建議這種"粗化方式" 你應 08/11 14:31
23F：→ hwanger : 該關注在singular value的變化 而不是eigenvalue 08/11 14:32
24F：推 hwanger : 以下純粹個人感覺 你粗化後的矩陣 singular value可 08/11 14:37
25F：→ hwanger : 能和原矩陣有關 但eigenvalue看不出來為何要有關聯 08/11 14:37
26F：→ hwanger : 而且用這種方式簡化矩陣 通常和"人的感覺"有關 沒聽 08/11 14:39
27F：→ hwanger : 過用來做進一步運算的 08/11 14:39
28F：推 hwanger : "但對矩陣"取樣"的理論">>>摸不太清楚你的目的是啥 08/11 14:47
29F：→ TeTe : 應該說這個矩陣 eigenvalue代表一個動態系統的頻率 08/11 14:47
30F：→ TeTe : 響應，所以我才會認為如果我的"粗化方法"夠好，那 08/11 14:47
31F：→ TeTe : 應該要得到相同的頻率響應，又或是如果有影響，應 08/11 14:47
32F：→ TeTe : 該要用什麼理論去解釋這樣的影響 08/11 14:47
33F：→ hwanger : 但直覺會是影像處理相關或資料壓縮相關 08/11 14:48
34F：→ TeTe : 目的在這裡講出來可能有點難解釋完全，所以才想說 08/11 15:02
35F：→ TeTe : 看能不能問到關鍵字，自己找論文讀 08/11 15:02
36F：推 hwanger : "如果"粗化方法"夠好">>>不太確定是不是存在這樣一 08/11 15:04
37F：→ hwanger : 個夠好的粗化方法 但這個問題其實大約等價於 我有一 08/11 15:04
38F：→ hwanger : 個高次方的多項式 我用加減乘在其係數上 造出一個低 08/11 15:04
39F：→ hwanger : 階的多項式 其根和原式相近 08/11 15:04
40F：推 hwanger : 可能有類似的研究 不過應該都會限制原矩陣是某種類 08/11 15:08
41F：→ hwanger : 型 08/11 15:08
42F：推 hwanger : 在不限制矩陣類型的情況下 就我目前的感覺 得出實 08/11 15:16
43F：→ hwanger : 部和虛部會放大的結論只是巧合 可以試想一下有多少 08/11 15:16
44F：→ hwanger : 極端情況 可以在相同算法得到相同的簡化矩陣 08/11 15:16
45F：→ TeTe : 好的，感謝h大 08/11 16:02
46F：推 wohtp : 這不就renormalization group… 08/11 16:14
47F：→ wohtp : 「粗化」以後一般來說特徵值應該會被rescale才對。 08/11 16:16
48F：→ wohtp : 不過RG處理的對象通常很接近block matrices。可以拿 08/11 16:19
49F：→ wohtp : 來當例子，但相關技巧大概很難用在一般矩陣上。 08/11 16:19
50F：→ TeTe : w大那rescale的值有什麼理論依據嗎？還是只要把他 08/11 17:10
51F：→ TeTe : 除回去就好？？ 08/11 17:10
52F：→ wohtp : 簡單的例子：考慮一維的forward difference matrix 08/12 02:37
53F：→ wohtp : ，整個band diagonal，代表discretized的微分算符。 08/12 02:37
54F：→ wohtp : 粗化等於你的lattice spacing變大，然後你所有的長 08/12 02:40
55F：→ wohtp : 度都是以lattice spacing為單位。所以「實際上有相 08/12 02:40
56F：→ wohtp : 同頻率響應」代表「頻率特徵值變大了」。 08/12 02:40
57F：→ wohtp : 但是我不知道你的矩陣是什麼，能不能適用這個圖像。 08/12 02:42
58F：→ wohtp : 我只能跟你說，至少有這個特徵值被縮放的例子，所以 08/12 02:43
59F：→ wohtp : 你不該期待特徵值不變。 08/12 02:43