作者TeTe (T_T)
看板Math
标题[线代] 低解析度矩阵的特徵值放大情形
时间Tue Aug 11 12:03:18 2020
如题，因为原始矩阵过於庞大无法计算，因此需要将矩阵用维持通量的方式缩小大小，
我觉得想法有点像将高解析度的图片降阶。
但是取 eigenvalue的时候会发现最大的前几项实部跟虚部都会有放大的现象
想请问版上大大有什麽理论会解释这个吗？
另外就是矩阵这种降阶方法也会跟做频域分析取样太粗而造成 aliasing有一样的状况吗
？需要研究什麽理论才能了解这块？
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1F：推 hwanger : "用维持通量的方式缩小大小">>>这应该是什麽标准用08/11 13:51
2F：→ hwanger : 语吗 不是很懂08/11 13:52
3F：→ hwanger : "高解析度的图片降阶">>>压缩图片其实还蛮多种演算08/11 13:54
4F：→ hwanger : 法的 而且基本上都是破坏性压缩08/11 13:55
不好意思，小弟算是工程科系，这方面的用词不大清楚，如有用错烦请指教
我指的通量是指在这个 2D domain的物理量在降阶过程中需要维持守恒，方法是下面的图片
https://i.imgur.com/BBSPGgq.jpg
5F：→ hwanger : 探讨eigenvalue的变化 主要还是看具体如何缩小矩阵08/11 13:57
6F：→ hwanger : 并且关於eigenvalue的不等式 大部份都是在讲08/11 14:00
7F：→ hwanger : Hermitian matrix 对於一般case 则是看singular08/11 14:01
8F：→ hwanger : value08/11 14:03
9F：推 hwanger : "矩阵这种降阶方法" >>>一样 猜不透你如何降阶 但破 08/11 14:08
10F：→ hwanger : 坏性压缩都会有失真的问题 08/11 14:09
※ 编辑: TeTe (118.167.125.184 台湾), 08/11/2020 14:12:42
11F：推 hwanger : 如你所述 aliasing是因为在连续讯号和有限离散讯号 08/11 14:18
12F：→ hwanger : 之间做转换所造成的失真 不太确定是否和你的问题相 08/11 14:19
13F：→ hwanger : 关 08/11 14:19
14F：→ TeTe : 这也是我在想的问题，但频域的 aliasing可以用 co 08/11 14:23
15F：→ TeTe : nvolution去解释，但对矩阵"取样"的理论 请问要参 08/11 14:23
16F：→ TeTe : 考哪一个理论？ 08/11 14:23
17F：推 hwanger : "这方面的用词不大清楚">>>有看过类似处理手法 不过 08/11 14:25
18F：→ hwanger : 我也不知道正确用语是啥 08/11 14:26
19F：→ hwanger : 看过这种方法用在萤幕显示上 没看过用在算eigenvalu 08/11 14:29
20F：→ TeTe : 老师是都称做 coarsify，但查网路上没什麽研究，可 08/11 14:29
21F：→ TeTe : 能算自己发明的字 08/11 14:29
22F：→ hwanger : 没看过有专书讨论 不过我会建议这种"粗化方式" 你应 08/11 14:31
23F：→ hwanger : 该关注在singular value的变化 而不是eigenvalue 08/11 14:32
24F：推 hwanger : 以下纯粹个人感觉 你粗化後的矩阵 singular value可 08/11 14:37
25F：→ hwanger : 能和原矩阵有关 但eigenvalue看不出来为何要有关联 08/11 14:37
26F：→ hwanger : 而且用这种方式简化矩阵 通常和"人的感觉"有关 没听 08/11 14:39
27F：→ hwanger : 过用来做进一步运算的 08/11 14:39
28F：推 hwanger : "但对矩阵"取样"的理论">>>摸不太清楚你的目的是啥 08/11 14:47
29F：→ TeTe : 应该说这个矩阵 eigenvalue代表一个动态系统的频率 08/11 14:47
30F：→ TeTe : 响应，所以我才会认为如果我的"粗化方法"够好，那 08/11 14:47
31F：→ TeTe : 应该要得到相同的频率响应，又或是如果有影响，应 08/11 14:47
32F：→ TeTe : 该要用什麽理论去解释这样的影响 08/11 14:47
33F：→ hwanger : 但直觉会是影像处理相关或资料压缩相关 08/11 14:48
34F：→ TeTe : 目的在这里讲出来可能有点难解释完全，所以才想说 08/11 15:02
35F：→ TeTe : 看能不能问到关键字，自己找论文读 08/11 15:02
36F：推 hwanger : "如果"粗化方法"够好">>>不太确定是不是存在这样一 08/11 15:04
37F：→ hwanger : 个够好的粗化方法 但这个问题其实大约等价於 我有一 08/11 15:04
38F：→ hwanger : 个高次方的多项式 我用加减乘在其系数上 造出一个低 08/11 15:04
39F：→ hwanger : 阶的多项式 其根和原式相近 08/11 15:04
40F：推 hwanger : 可能有类似的研究 不过应该都会限制原矩阵是某种类 08/11 15:08
41F：→ hwanger : 型 08/11 15:08
42F：推 hwanger : 在不限制矩阵类型的情况下 就我目前的感觉 得出实 08/11 15:16
43F：→ hwanger : 部和虚部会放大的结论只是巧合 可以试想一下有多少 08/11 15:16
44F：→ hwanger : 极端情况 可以在相同算法得到相同的简化矩阵 08/11 15:16
45F：→ TeTe : 好的，感谢h大 08/11 16:02
46F：推 wohtp : 这不就renormalization group… 08/11 16:14
47F：→ wohtp : 「粗化」以後一般来说特徵值应该会被rescale才对。 08/11 16:16
48F：→ wohtp : 不过RG处理的对象通常很接近block matrices。可以拿 08/11 16:19
49F：→ wohtp : 来当例子，但相关技巧大概很难用在一般矩阵上。 08/11 16:19
50F：→ TeTe : w大那rescale的值有什麽理论依据吗？还是只要把他 08/11 17:10
51F：→ TeTe : 除回去就好？？ 08/11 17:10
52F：→ wohtp : 简单的例子：考虑一维的forward difference matrix 08/12 02:37
53F：→ wohtp : ，整个band diagonal，代表discretized的微分算符。 08/12 02:37
54F：→ wohtp : 粗化等於你的lattice spacing变大，然後你所有的长 08/12 02:40
55F：→ wohtp : 度都是以lattice spacing为单位。所以「实际上有相 08/12 02:40
56F：→ wohtp : 同频率响应」代表「频率特徵值变大了」。 08/12 02:40
57F：→ wohtp : 但是我不知道你的矩阵是什麽，能不能适用这个图像。 08/12 02:42
58F：→ wohtp : 我只能跟你说，至少有这个特徵值被缩放的例子，所以 08/12 02:43
59F：→ wohtp : 你不该期待特徵值不变。 08/12 02:43