作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
標題Re: [中學] 今年ARML一題幾何
時間Wed Jun 24 04:51:52 2020
※ 引述《llww (開心渡過每一天)》之銘言：
: 時間: Sun May 31 16:25:24 2020
: 請問各位先進，今年ARML 一題幾何，如照片，謝謝您。
: https://imgur.com/a/zUhJTWL
看了板友LPH66這題的解法提到外公切線極大值後覺得很有趣，
我自己試著用直接求解的方式，
不管題目給的數值是多少，
都能給出結果。
先敘述我的設定：
令k = BC + AB = a + c = 35, b = AC = 13
O1切AB、BC，半徑r_1；O2切BC、AC，半徑r_2；I為內心，半徑R
令r = √(r_1r_2)，
O1, O2, I對BC的垂足為D, E, F
令x = BD，DE = 2r，y = FC
一般傳統的s = (1/2)(a + b + c) = (k + b)/2
其他量亦可計算出來，例如
R = (1/2)√[(k-b)/(k+b)]√[(b - k + 2a)(b - 2a + k)]
x + y = a - 2r
xy = r^2 (k + b)/(b - 2a + k) = (1/β)r^2，為簡便令β = 1 - 2a/(k + b) < 1
解得{x, y} = (a - 2r)/2 +- (1/2)√[(a - 2r)^2 - (4/β)r^2]為a, r的函數
=> r_1, r_2為a, r的函數
應要求x < (k - b)/2，y < a - (k - b)/2，但是在r沒有固定的情況下，無從排除起
可知如果+-兩解在滿足以上合理條件下，都應該是可接受的解
所以r_1 + r_2在一般狀況下要有兩解，均為a, r的函數，只給r也不能夠決定唯一的a。
但是範圍是有限制的：a_1 < a < a_2
存在實數解的情況：
r_1 + r_2 = [a(a - 2r)/√(k^2 - b^2)]√[(b- 2a + k)/(b + 2a - k)]
+- √D [(b + a - k)/2]√[(b - 2a + k)/(b + 2a - k)] / √(k^2 - b^2)
當D = 0時，本題適用此狀況
r_1 + r_2 = [a(a - 2r)/√(k^2 - b^2)]√[(b- 2a + k)/(b + 2a - k)]
但是判別式D = 0時的條件(可互通)是：
(1)x = y => BD = CF
(2)r為在給定a值時的最大值
(3)BE r_1 = EC r_2，就是LPH66給的ur_1 = vr_2
r的極大值=(a/2)/[1 + 1/√β] = (1/4)√(k + b) [√(k + b) - √(k + b - 2a)]
= (1/2)√(s - a) [√s - √(s - a)] <= s/8
若題目給的r = s/8 => a = 18 => 可得r_1 + r_2
若題目給的r > s/8 => 無解
若題目給的r < s/8 => a = a_1, a_2，檢查是否合理(k - b)/2 < a < (k + b)/2
=> 檢查x, y限制條件是否吻合
如果題目多增加條件：外公切線長為所有情況下的最大值時，a才會被固定
(這時題目也連r_1r_2 = 9都不需要給)
如果題目隨意給個< 9的r_1r_2值，就必須全解，r_1 + r_2仍然是a, r的函數，
只是a的範圍受到限定。
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※ 編輯: Honor1984 (111.243.50.205 臺灣), 06/24/2020 07:18:55