作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)
看板Math
标题Re: [中学] 今年ARML一题几何
时间Wed Jun 24 04:51:52 2020
※ 引述《llww (开心渡过每一天)》之铭言：
: 时间: Sun May 31 16:25:24 2020
: 请问各位先进，今年ARML 一题几何，如照片，谢谢您。
: https://imgur.com/a/zUhJTWL
看了板友LPH66这题的解法提到外公切线极大值後觉得很有趣，
我自己试着用直接求解的方式，
不管题目给的数值是多少，
都能给出结果。
先叙述我的设定：
令k = BC + AB = a + c = 35, b = AC = 13
O1切AB、BC，半径r_1；O2切BC、AC，半径r_2；I为内心，半径R
令r = √(r_1r_2)，
O1, O2, I对BC的垂足为D, E, F
令x = BD，DE = 2r，y = FC
一般传统的s = (1/2)(a + b + c) = (k + b)/2
其他量亦可计算出来，例如
R = (1/2)√[(k-b)/(k+b)]√[(b - k + 2a)(b - 2a + k)]
x + y = a - 2r
xy = r^2 (k + b)/(b - 2a + k) = (1/β)r^2，为简便令β = 1 - 2a/(k + b) < 1
解得{x, y} = (a - 2r)/2 +- (1/2)√[(a - 2r)^2 - (4/β)r^2]为a, r的函数
=> r_1, r_2为a, r的函数
应要求x < (k - b)/2，y < a - (k - b)/2，但是在r没有固定的情况下，无从排除起
可知如果+-两解在满足以上合理条件下，都应该是可接受的解
所以r_1 + r_2在一般状况下要有两解，均为a, r的函数，只给r也不能够决定唯一的a。
但是范围是有限制的：a_1 < a < a_2
存在实数解的情况：
r_1 + r_2 = [a(a - 2r)/√(k^2 - b^2)]√[(b- 2a + k)/(b + 2a - k)]
+- √D [(b + a - k)/2]√[(b - 2a + k)/(b + 2a - k)] / √(k^2 - b^2)
当D = 0时，本题适用此状况
r_1 + r_2 = [a(a - 2r)/√(k^2 - b^2)]√[(b- 2a + k)/(b + 2a - k)]
但是判别式D = 0时的条件(可互通)是：
(1)x = y => BD = CF
(2)r为在给定a值时的最大值
(3)BE r_1 = EC r_2，就是LPH66给的ur_1 = vr_2
r的极大值=(a/2)/[1 + 1/√β] = (1/4)√(k + b) [√(k + b) - √(k + b - 2a)]
= (1/2)√(s - a) [√s - √(s - a)] <= s/8
若题目给的r = s/8 => a = 18 => 可得r_1 + r_2
若题目给的r > s/8 => 无解
若题目给的r < s/8 => a = a_1, a_2，检查是否合理(k - b)/2 < a < (k + b)/2
=> 检查x, y限制条件是否吻合
如果题目多增加条件：外公切线长为所有情况下的最大值时，a才会被固定
(这时题目也连r_1r_2 = 9都不需要给)
如果题目随意给个< 9的r_1r_2值，就必须全解，r_1 + r_2仍然是a, r的函数，
只是a的范围受到限定。
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 111.243.50.205 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1592945514.A.FD3.html
※ 编辑: Honor1984 (111.243.50.205 台湾), 06/24/2020 07:18:55