※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言： : 若 f：R→R 滿足 f(x+1) + f(x-1) =√2 f(x) : 試證 f 為週期函數 : 推 LPH66 : 題目似乎有誤: f(x) = [(1+√3)/(√2)]^x 滿足題設 06/22 18:20 : → LPH66 : 但這是指數函數顯然不是週期函數 06/22 18:21 : → musicbox810 : 請問LPH大是怎麼求出來的? 06/22 19:08 : → musicbox810 : 想起來了，是常係數遞迴 06/22 19:24 : → TOMOHISA : 真的耶，看來題目漏了條件，感謝L大 06/22 19:27 : → yueayase : 難怪我解不出來(誤 06/22 20:03 : 推 Vulpix : 要解出週期函數也簡單：把那個減法改成加法。題目是 06/22 20:08 : → Vulpix : 出錯了吧。 06/22 20:08 : → musicbox810 : V大可以試解一下改成+後的題目嗎? 06/22 20:19 : → musicbox810 : 想出來了,特徵數為複數 06/22 20:31 : → TOMOHISA : 請問改成+號要怎麼證明？ 06/23 06:19 從特徵數下去推的話, 兩個特徵數是 (1+-i)/√2 它們是正負 45 度的單位複數, 也就是 1 的複 8 次根, 所以 8 次方會回到 0 次方 這樣就能簡單得到 f(x+8) = f(x) 的推測 ==== 如果要直接證明的話可以將關係式移位重疊 f(x+2) + f(x) = √2 f(x+1) f(x) + f(x-2) = √2 f(x-1) (+ ------------------------------------- f(x+2) + 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) + f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x) 所以有 f(x+2) + f(x-2) = 0, 或者移位一下是 f(x+4) + f(x) = 0 那麼 f(x+8) + f(x+4) = 0 = f(x+4) + f(x) 消去得 f(x+8) = f(x) 得證 這個技巧是因為我們的目的是要找出一個 f(x+k) = f(x) 但原關係式只和三個間隔 1 的函數值有關 要把這個間隔拉大才能嘗試去找所要的 k 那因為題目設計的關係, 拉大到兩倍間隔就能把連在一起的三個函數值中的一個給消掉 接下來要找出週期就容易了 (會這樣的原因還是第一段提到的, 特徵值是 1 的複 8 次方根的關係) ==== 同一招如果用在 - 的題目的話 f(x+2) - f(x) = √2 f(x+1) f(x) - f(x-2) = √2 f(x-1) (- ------------------------------------- f(x+2) - 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) - f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x) 會得到 f(x+2) + f(x-2) = 4f(x) 再一次會得到 f(x+4) + f(x) = 4f(x+2) f(x) + f(x-4) = 4f(x-2) (+ ---------------------------------- f(x+4) + 2f(x) + f(x-4) = 4(f(x+2)+f(x-2)) = 4(4f(x)) = 16f(x) 會一直消不太掉 究其原因則是因為 - 的題目的特徵值是 (1+-√3)/√2, 絕對值不是 1 所以高次方上去的數值會被絕對值大於 1 的特徵值 (1+√3)/√2 拉開越變越大 ==== 至於實際的函數例子的話 如果把這兩個複特徵數寫成極式, 遞迴的公式解就可寫為 {αcos[(π/4)x]+βcos[(-π/4)x]} + i {αsin[(π/4)x]+βsin[(-π/4)x]} 若要符合原函數是 R→R 可取α=β, 這樣虛部會消失 再改寫 α+β=C 即可得到函數 f(x) = C*cos[(π/4)x] 滿足 (改成 + 的) 原關係式 可以注意到原關係式只對間隔為整數的函數值設下條件 也就是說函數並不一定整條都是同一個 C*cos[(π/4)x] 但間隔為整數的函數值因為關係式限制只會在同一條上 因此我們不能用特徵數解出來的函數去證明原函數是週期 (因為不止這些函數滿足條件) 只能由上面第二段這種由關係式推出來的關係去證明 -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K --

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