※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之铭言： : 若 f：R→R 满足 f(x+1) + f(x-1) =√2 f(x) : 试证 f 为周期函数 : 推 LPH66 : 题目似乎有误: f(x) = [(1+√3)/(√2)]^x 满足题设 06/22 18:20 : → LPH66 : 但这是指数函数显然不是周期函数 06/22 18:21 : → musicbox810 : 请问LPH大是怎麽求出来的? 06/22 19:08 : → musicbox810 : 想起来了，是常系数递回 06/22 19:24 : → TOMOHISA : 真的耶，看来题目漏了条件，感谢L大 06/22 19:27 : → yueayase : 难怪我解不出来(误 06/22 20:03 : 推 Vulpix : 要解出周期函数也简单：把那个减法改成加法。题目是 06/22 20:08 : → Vulpix : 出错了吧。 06/22 20:08 : → musicbox810 : V大可以试解一下改成+後的题目吗? 06/22 20:19 : → musicbox810 : 想出来了,特徵数为复数 06/22 20:31 : → TOMOHISA : 请问改成+号要怎麽证明？ 06/23 06:19 从特徵数下去推的话, 两个特徵数是 (1+-i)/√2 它们是正负 45 度的单位复数, 也就是 1 的复 8 次根, 所以 8 次方会回到 0 次方 这样就能简单得到 f(x+8) = f(x) 的推测 ==== 如果要直接证明的话可以将关系式移位重叠 f(x+2) + f(x) = √2 f(x+1) f(x) + f(x-2) = √2 f(x-1) (+ ------------------------------------- f(x+2) + 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) + f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x) 所以有 f(x+2) + f(x-2) = 0, 或者移位一下是 f(x+4) + f(x) = 0 那麽 f(x+8) + f(x+4) = 0 = f(x+4) + f(x) 消去得 f(x+8) = f(x) 得证 这个技巧是因为我们的目的是要找出一个 f(x+k) = f(x) 但原关系式只和三个间隔 1 的函数值有关 要把这个间隔拉大才能尝试去找所要的 k 那因为题目设计的关系, 拉大到两倍间隔就能把连在一起的三个函数值中的一个给消掉 接下来要找出周期就容易了 (会这样的原因还是第一段提到的, 特徵值是 1 的复 8 次方根的关系) ==== 同一招如果用在 - 的题目的话 f(x+2) - f(x) = √2 f(x+1) f(x) - f(x-2) = √2 f(x-1) (- ------------------------------------- f(x+2) - 2f(x) + f(x-2) = √2 (f(x+1) - f(x-1)) = √2 (√2 f(x)) = 2f(x) 会得到 f(x+2) + f(x-2) = 4f(x) 再一次会得到 f(x+4) + f(x) = 4f(x+2) f(x) + f(x-4) = 4f(x-2) (+ ---------------------------------- f(x+4) + 2f(x) + f(x-4) = 4(f(x+2)+f(x-2)) = 4(4f(x)) = 16f(x) 会一直消不太掉 究其原因则是因为 - 的题目的特徵值是 (1+-√3)/√2, 绝对值不是 1 所以高次方上去的数值会被绝对值大於 1 的特徵值 (1+√3)/√2 拉开越变越大 ==== 至於实际的函数例子的话 如果把这两个复特徵数写成极式, 递回的公式解就可写为 {αcos[(π/4)x]+βcos[(-π/4)x]} + i {αsin[(π/4)x]+βsin[(-π/4)x]} 若要符合原函数是 R→R 可取α=β, 这样虚部会消失 再改写 α+β=C 即可得到函数 f(x) = C*cos[(π/4)x] 满足 (改成 + 的) 原关系式 可以注意到原关系式只对间隔为整数的函数值设下条件 也就是说函数并不一定整条都是同一个 C*cos[(π/4)x] 但间隔为整数的函数值因为关系式限制只会在同一条上 因此我们不能用特徵数解出来的函数去证明原函数是周期 (因为不止这些函数满足条件) 只能由上面第二段这种由关系式推出来的关系去证明 -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory Ｔ Ｈ Ｅ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security Ｎ Ｏ Ｎ Ａ Ｒ Ｙ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio Ｇ Ａ Ｍ Ｅ Ｓ Luna Phi Sigma Alice Clover K --

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