作者davidwales (cluster)
看板Math
標題Re: [其他] 代數結構的體(fields)跟場論的場一樣嗎?
時間Sat Jun 13 15:44:17 2020
※ 引述《davidwales (cluster)》之銘言：
: 代數結構有所謂的 群環體
: 我發現 體 (fields)也是某種可以描述系統對稱性的代數結構
: 體 (fields) 跟物理學的"場" (ex:電磁場 量子場) 等等
: 是一樣或是概念上類似的的東西嗎?
: 感謝!
我自己找了一下相關資料, 分享一下, 也請版友指證
1. 數學上
我們可以定義一個向量空間在一個體上 (define a vector space over a field)
2.物理'向量場'(vector field)則可被定義為 一個module在ring上的元素
module 是一個廣義化的vector space, 而ring是條件鬆綁之後的體
所以有兩種定義:
module 在
ring 上 (物理的向量場)
vector space 在
field 上 (數學系的定義)
結論: 數學所謂的定義一個向量空間在一個體上和
物理的向量場(vector field)的定義似乎不完全一樣,但概念上是非常接近的
不過版友似乎指向他們是不同的
版友意思有沒有可能是概念上是相同的,但嚴格定義是有些微差異這樣?
因為物理場 有分 純量場 向量場 張量場
如果 物理的'向量場' 和 數學的 '向量空間被定義在一個體(field)上' 是90%等價的
那其實已經很大程度上解決了名詞定義上的可能混淆狀況
當然還需要在分析 純量場和張量場的例子 但我認為不會太麻煩
我認為能夠釐清這兩者差別是非常有學術價值的
希望大家能指點一下迷津和分享討論!
萬分感謝!!!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.175.81.240 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1592034259.A.EC0.html
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:46:02
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 15:47:32
1F：→ Ricestone : 你直接看實例就知道大概有多麼不一樣了 06/13 15:52
2F：→ Ricestone : 你講的那部份並不是完整定義，你這樣就像是把兩個 06/13 15:53
3F：→ Ricestone : 不同的東西只取一小部份來看，然後說有兩句話很像 06/13 15:53
4F：→ davidwales : 或是這麼說吧 物理的向量場改叫做module ring 06/13 15:57
5F：→ davidwales : 會不會比較不會造成名詞上的誤導? 06/13 15:57
6F：→ Ricestone : 兩個就不同領域的，沒什麼好誤導啊 06/13 15:59
7F：推 chemmachine : 我之前有推文有說他們有相關。你點向量場wiki 06/13 16:27
8F：→ chemmachine : 一開始就有向量微積分，向量微積分裡面就有講用向 06/13 16:28
9F：→ chemmachine : 量空間來設計。高中重力，電磁學都有用到合力等向 06/13 16:29
10F：→ chemmachine : 量合成概念。大一大二的課程也會有點相關，之後 06/13 16:30
11F：→ chemmachine : 的越深大概會越來越偏離。就像你看到向量空間會知道 06/13 16:30
12F：→ chemmachine : 數學的，看到場會知道是物理的。高中物理化學可以 06/13 16:31
13F：→ chemmachine : 放在數學一起念，當數學建模就好。 06/13 16:31
14F：推 JI1 : sars flu coronavirus 06/13 19:25
15F：噓 recorriendo : 向量場不是單純指向量空間 06/13 19:44
關於你推文的這個部分
我內文有提
16F：→ recorriendo : 你這裡所謂分享 不就是任何一本代數就有的內容？ 06/13 19:53
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/13/2020 19:56:42
17F：→ recorriendo : 所以版友叫你先去看書啊 連這些最基本的定義都沒搞 06/13 19:59
18F：→ recorriendo : 清楚 再怎麼討論都不會有交集 06/13 19:59
19F：推 wohtp : 孔子顯然說錯了。思而不學的人不會殆，周圍的人才殆 06/13 21:41
20F：→ wohtp : 數學我不說，能不能請原po先讀過一點物理的場？ 06/13 21:43
21F：→ wohtp : 物理的場本質是從時空間映射到某些集合上的mapping 06/13 21:47
22F：→ wohtp : 。我在原po的敘述裡面完全看不到這個認知。 06/13 21:47
23F：→ davidwales : wohtp 你講的映射 可否跟我內文說的module在ring上 06/14 00:07
24F：→ davidwales : 這件事做出一些連結? 06/14 00:07
25F：→ davidwales : 或是我換個說法 物理的向量場就是 module映射到 06/14 00:12
26F：→ davidwales : ring上的這個操作過程 06/14 00:13
27F：→ davidwales : a vector space over a field 這在數學系有沒有比 06/14 00:15
28F：→ davidwales : 較簡便的說法呢? 06/14 00:16
29F：→ Ricestone : 我仔細看你內文，發現你講的根本不是物理場 06/14 00:18
30F：→ Ricestone : 你知道over a field到底是什麼意思嗎？ 06/14 00:19
31F：→ davidwales : over a field 就是從原本的要素中篩選出符合CANI的 06/14 00:24
32F：→ davidwales : 要素 C:commutative, A:associative,I:identity 06/14 00:26
33F：→ davidwales : N: neutral element 06/14 00:28
34F：→ Ricestone : 不是，是用這個field構造出的新代數結構，所以才用 06/14 00:29
35F：→ Ricestone : over表達 06/14 00:29
37F：→ davidwales : 這個影片講得很清楚 06/14 00:30
38F：→ Ricestone : 以你的說法，你能說出一個電場的module長什麼樣嗎？ 06/14 00:30
39F：→ davidwales : ricestone講的定義也沒有錯 06/14 00:30
40F：→ davidwales : 電磁場嗎? 06/14 00:31
41F：→ Ricestone : 抱歉，你可以跟我說那影片哪裡有說over a field是 06/14 00:32
42F：→ davidwales : 我是引述quora的一個會員講的 06/14 00:32
44F：→ Ricestone : 篩選什麼嗎？你的給我的時間只是講field 06/14 00:32
45F：→ Ricestone : 數學本身就有vector field的概念了，微分方程都在講 06/14 00:33
46F：→ Ricestone : 這東西 06/14 00:33
47F：→ Ricestone : 那回答就是在講兩種東西概念不一樣 06/14 00:34
48F：→ Ricestone : 重點是，你把over a field的"vector space"跟 06/14 00:37
49F：→ Ricestone : over a ring的"module"比在一起，但你沒發現兩個位 06/14 00:38
50F：→ Ricestone : 置不同嗎？ 06/14 00:38
51F：→ Ricestone : 下面可以說是vector field，但上面的field是被over 06/14 00:38
52F：→ Ricestone : 的東西 06/14 00:38
這邊解釋一下
我內文認為的相似之處在於
物理系的
"vector field := a module over a ring"
這件事情跟數學系的
"a vector space over a field"
我認為很像
我特別用紫色標出我認為是雙方概念接近的部分
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 00:42:43
53F：→ Ricestone : 所以你現在是認為"a vector space over a field"是 06/14 00:45
54F：→ Ricestone : 一個數學上的field嗎？ 06/14 00:45
55F：→ davidwales : "a vector space over a field" 這是數學系的講法 06/14 00:47
56F：→ davidwales : 自然那個fields是代數的那個'體' 06/14 00:47
57F：→ Ricestone : 我跟你說，那就是vector space，不是field 06/14 00:47
58F：→ Ricestone : 就像a man in a red cloth，是man，不是red cloth 06/14 00:49
59F：→ wohtp : 我直接跟你講，物理的vector field不管怎麼理解都不 06/14 16:02
60F：→ wohtp : 是a module over a ring。 06/14 16:03
61F：→ wohtp : 最簡單的向量場例子至少是module-valued function 06/14 16:04
62F：→ wohtp : defined on a manifold 06/14 16:04
63F：→ wohtp : 這已經不是拿蘋果比橘子了。這是明說要拿蘋果比橘子 06/14 16:06
64F：→ wohtp : 但拿出來的「蘋果」是顆大西瓜。 06/14 16:06
65F：推 TimcApple : 代數結構的 field 任兩個元素有除法（分母不為0 06/14 16:50
66F：→ TimcApple : 向量場拿兩個向量 我看你怎麼除XD 06/14 16:51
67F：→ TimcApple : 任兩個向量場也不能除 這跟代數的 field 怎麼比 06/14 16:53
68F：→ TimcApple : 另外 向量場是 function 代數的體是 structure 06/14 16:56
69F：→ TimcApple : 至少拿所有向量場的集合來比吧 06/14 16:57
70F：→ TimcApple : 但這東西也不是 field 理由同上因為沒除法 06/14 16:58
我覺得我的疑問在這個影片有得到一些解惑
建議大家可以看看
https://tinyurl.com/ycch2f42
簡單說
module over a ring 是要處理一些特殊manifold上沒有basis的問題
比方說 S2(2維球面)
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:51:20
※ 編輯: davidwales (1.175.81.240 臺灣), 06/14/2020 17:53:18
71F：→ wohtp : 提示：他這裡只講向量，沒有場 06/14 18:59
72F：推 WINDHEAD : 向量場s是可以理解成 module over coordinate ring 06/15 12:23
73F：→ WINDHEAD : 但是英文 vector field 的 field 單純是常見英文 06/15 12:24
74F：→ WINDHEAD : 應做baseball field的field解 06/15 12:25
75F：→ WINDHEAD : 跟代數結構的 field 沒有關係XD 06/15 12:25
76F：→ WINDHEAD : 就像 Lie algebra 的 Lie 是姓氏 不是說謊代數 06/15 12:26
78F：→ davidwales : 這個影片已經解決我這個討論串90%疑惑,感謝版友的 06/15 14:32
79F：→ davidwales : 參與和討論 小弟獲益匪淺 06/15 14:33
80F：→ davidwales : a smooth vector field 是一個C^inf(M)-module 06/15 14:35
81F：→ davidwales : 並不是a vector space on a field, 因為很多時候 06/15 14:36
82F：→ davidwales : a vector S on a field會違反hairy ball theorem. 06/15 14:37
83F：→ davidwales : 所以 為了讓物理場不違反hairy ball theorem,我們才 06/15 14:38
84F：→ davidwales : 需要把它重新定義成 module on a ring, 或是 06/15 14:38
85F：→ davidwales : C^-inf(M)-module;但 我個人認為vector space on a 06/15 14:39
86F：→ davidwales : field和 a module on a ring概念上是接近的 06/15 14:39
※ 編輯: davidwales (1.175.94.41 臺灣), 06/15/2020 14:40:55
87F：→ davidwales : 但儘管概念上接近 a vector space on a field 的確 06/15 14:41
88F：→ davidwales : 和 module on a ring 有著差異性,至於是否只差hairy 06/15 14:42
89F：→ davidwales : ball theorem,我就不是很確定 但我想我已經滿足了 06/15 14:43
91F：→ KWire : Dummit 的代數課本上面已經有寫了啊 06/15 20:22
92F：推 KWire : R 是 field 的時候上面的 module 跟 VS 是同一件事 06/15 20:29