作者davidwales (cluster)
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标题Re: [其他] 代数结构的体(fields)跟场论的场一样吗?
时间Sat Jun 13 15:44:17 2020
※ 引述《davidwales (cluster)》之铭言：
: 代数结构有所谓的 群环体
: 我发现 体 (fields)也是某种可以描述系统对称性的代数结构
: 体 (fields) 跟物理学的"场" (ex:电磁场 量子场) 等等
: 是一样或是概念上类似的的东西吗?
: 感谢!
我自己找了一下相关资料, 分享一下, 也请版友指证
1. 数学上
我们可以定义一个向量空间在一个体上 (define a vector space over a field)
2.物理'向量场'(vector field)则可被定义为 一个module在ring上的元素
module 是一个广义化的vector space, 而ring是条件松绑之後的体
所以有两种定义:
module 在
ring 上 (物理的向量场)
vector space 在
field 上 (数学系的定义)
结论: 数学所谓的定义一个向量空间在一个体上和
物理的向量场(vector field)的定义似乎不完全一样,但概念上是非常接近的
不过版友似乎指向他们是不同的
版友意思有没有可能是概念上是相同的,但严格定义是有些微差异这样?
因为物理场 有分 纯量场 向量场 张量场
如果 物理的'向量场' 和 数学的 '向量空间被定义在一个体(field)上' 是90%等价的
那其实已经很大程度上解决了名词定义上的可能混淆状况
当然还需要在分析 纯量场和张量场的例子 但我认为不会太麻烦
我认为能够厘清这两者差别是非常有学术价值的
希望大家能指点一下迷津和分享讨论!
万分感谢!!!
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.175.81.240 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1592034259.A.EC0.html
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/13/2020 15:46:02
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/13/2020 15:47:32
1F：→ Ricestone : 你直接看实例就知道大概有多麽不一样了 06/13 15:52
2F：→ Ricestone : 你讲的那部份并不是完整定义，你这样就像是把两个 06/13 15:53
3F：→ Ricestone : 不同的东西只取一小部份来看，然後说有两句话很像 06/13 15:53
4F：→ davidwales : 或是这麽说吧 物理的向量场改叫做module ring 06/13 15:57
5F：→ davidwales : 会不会比较不会造成名词上的误导? 06/13 15:57
6F：→ Ricestone : 两个就不同领域的，没什麽好误导啊 06/13 15:59
7F：推 chemmachine : 我之前有推文有说他们有相关。你点向量场wiki 06/13 16:27
8F：→ chemmachine : 一开始就有向量微积分，向量微积分里面就有讲用向 06/13 16:28
9F：→ chemmachine : 量空间来设计。高中重力，电磁学都有用到合力等向 06/13 16:29
10F：→ chemmachine : 量合成概念。大一大二的课程也会有点相关，之後 06/13 16:30
11F：→ chemmachine : 的越深大概会越来越偏离。就像你看到向量空间会知道 06/13 16:30
12F：→ chemmachine : 数学的，看到场会知道是物理的。高中物理化学可以 06/13 16:31
13F：→ chemmachine : 放在数学一起念，当数学建模就好。 06/13 16:31
14F：推 JI1 : sars flu coronavirus 06/13 19:25
15F：嘘 recorriendo : 向量场不是单纯指向量空间 06/13 19:44
关於你推文的这个部分
我内文有提
16F：→ recorriendo : 你这里所谓分享 不就是任何一本代数就有的内容？ 06/13 19:53
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/13/2020 19:56:42
17F：→ recorriendo : 所以版友叫你先去看书啊 连这些最基本的定义都没搞 06/13 19:59
18F：→ recorriendo : 清楚 再怎麽讨论都不会有交集 06/13 19:59
19F：推 wohtp : 孔子显然说错了。思而不学的人不会殆，周围的人才殆 06/13 21:41
20F：→ wohtp : 数学我不说，能不能请原po先读过一点物理的场？ 06/13 21:43
21F：→ wohtp : 物理的场本质是从时空间映射到某些集合上的mapping 06/13 21:47
22F：→ wohtp : 。我在原po的叙述里面完全看不到这个认知。 06/13 21:47
23F：→ davidwales : wohtp 你讲的映射 可否跟我内文说的module在ring上 06/14 00:07
24F：→ davidwales : 这件事做出一些连结? 06/14 00:07
25F：→ davidwales : 或是我换个说法 物理的向量场就是 module映射到 06/14 00:12
26F：→ davidwales : ring上的这个操作过程 06/14 00:13
27F：→ davidwales : a vector space over a field 这在数学系有没有比 06/14 00:15
28F：→ davidwales : 较简便的说法呢? 06/14 00:16
29F：→ Ricestone : 我仔细看你内文，发现你讲的根本不是物理场 06/14 00:18
30F：→ Ricestone : 你知道over a field到底是什麽意思吗？ 06/14 00:19
31F：→ davidwales : over a field 就是从原本的要素中筛选出符合CANI的 06/14 00:24
32F：→ davidwales : 要素 C:commutative, A:associative,I:identity 06/14 00:26
33F：→ davidwales : N: neutral element 06/14 00:28
34F：→ Ricestone : 不是，是用这个field构造出的新代数结构，所以才用 06/14 00:29
35F：→ Ricestone : over表达 06/14 00:29
37F：→ davidwales : 这个影片讲得很清楚 06/14 00:30
38F：→ Ricestone : 以你的说法，你能说出一个电场的module长什麽样吗？ 06/14 00:30
39F：→ davidwales : ricestone讲的定义也没有错 06/14 00:30
40F：→ davidwales : 电磁场吗? 06/14 00:31
41F：→ Ricestone : 抱歉，你可以跟我说那影片哪里有说over a field是 06/14 00:32
42F：→ davidwales : 我是引述quora的一个会员讲的 06/14 00:32
44F：→ Ricestone : 筛选什麽吗？你的给我的时间只是讲field 06/14 00:32
45F：→ Ricestone : 数学本身就有vector field的概念了，微分方程都在讲 06/14 00:33
46F：→ Ricestone : 这东西 06/14 00:33
47F：→ Ricestone : 那回答就是在讲两种东西概念不一样 06/14 00:34
48F：→ Ricestone : 重点是，你把over a field的"vector space"跟 06/14 00:37
49F：→ Ricestone : over a ring的"module"比在一起，但你没发现两个位 06/14 00:38
50F：→ Ricestone : 置不同吗？ 06/14 00:38
51F：→ Ricestone : 下面可以说是vector field，但上面的field是被over 06/14 00:38
52F：→ Ricestone : 的东西 06/14 00:38
这边解释一下
我内文认为的相似之处在於
物理系的
"vector field := a module over a ring"
这件事情跟数学系的
"a vector space over a field"
我认为很像
我特别用紫色标出我认为是双方概念接近的部分
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/14/2020 00:42:43
53F：→ Ricestone : 所以你现在是认为"a vector space over a field"是 06/14 00:45
54F：→ Ricestone : 一个数学上的field吗？ 06/14 00:45
55F：→ davidwales : "a vector space over a field" 这是数学系的讲法 06/14 00:47
56F：→ davidwales : 自然那个fields是代数的那个'体' 06/14 00:47
57F：→ Ricestone : 我跟你说，那就是vector space，不是field 06/14 00:47
58F：→ Ricestone : 就像a man in a red cloth，是man，不是red cloth 06/14 00:49
59F：→ wohtp : 我直接跟你讲，物理的vector field不管怎麽理解都不 06/14 16:02
60F：→ wohtp : 是a module over a ring。 06/14 16:03
61F：→ wohtp : 最简单的向量场例子至少是module-valued function 06/14 16:04
62F：→ wohtp : defined on a manifold 06/14 16:04
63F：→ wohtp : 这已经不是拿苹果比橘子了。这是明说要拿苹果比橘子 06/14 16:06
64F：→ wohtp : 但拿出来的「苹果」是颗大西瓜。 06/14 16:06
65F：推 TimcApple : 代数结构的 field 任两个元素有除法（分母不为0 06/14 16:50
66F：→ TimcApple : 向量场拿两个向量 我看你怎麽除XD 06/14 16:51
67F：→ TimcApple : 任两个向量场也不能除 这跟代数的 field 怎麽比 06/14 16:53
68F：→ TimcApple : 另外 向量场是 function 代数的体是 structure 06/14 16:56
69F：→ TimcApple : 至少拿所有向量场的集合来比吧 06/14 16:57
70F：→ TimcApple : 但这东西也不是 field 理由同上因为没除法 06/14 16:58
我觉得我的疑问在这个影片有得到一些解惑
建议大家可以看看
https://tinyurl.com/ycch2f42
简单说
module over a ring 是要处理一些特殊manifold上没有basis的问题
比方说 S2(2维球面)
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/14/2020 17:51:20
※ 编辑: davidwales (1.175.81.240 台湾), 06/14/2020 17:53:18
71F：→ wohtp : 提示：他这里只讲向量，没有场 06/14 18:59
72F：推 WINDHEAD : 向量场s是可以理解成 module over coordinate ring 06/15 12:23
73F：→ WINDHEAD : 但是英文 vector field 的 field 单纯是常见英文 06/15 12:24
74F：→ WINDHEAD : 应做baseball field的field解 06/15 12:25
75F：→ WINDHEAD : 跟代数结构的 field 没有关系XD 06/15 12:25
76F：→ WINDHEAD : 就像 Lie algebra 的 Lie 是姓氏 不是说谎代数 06/15 12:26
78F：→ davidwales : 这个影片已经解决我这个讨论串90%疑惑,感谢版友的 06/15 14:32
79F：→ davidwales : 参与和讨论 小弟获益匪浅 06/15 14:33
80F：→ davidwales : a smooth vector field 是一个C^inf(M)-module 06/15 14:35
81F：→ davidwales : 并不是a vector space on a field, 因为很多时候 06/15 14:36
82F：→ davidwales : a vector S on a field会违反hairy ball theorem. 06/15 14:37
83F：→ davidwales : 所以 为了让物理场不违反hairy ball theorem,我们才 06/15 14:38
84F：→ davidwales : 需要把它重新定义成 module on a ring, 或是 06/15 14:38
85F：→ davidwales : C^-inf(M)-module;但 我个人认为vector space on a 06/15 14:39
86F：→ davidwales : field和 a module on a ring概念上是接近的 06/15 14:39
※ 编辑: davidwales (1.175.94.41 台湾), 06/15/2020 14:40:55
87F：→ davidwales : 但尽管概念上接近 a vector space on a field 的确 06/15 14:41
88F：→ davidwales : 和 module on a ring 有着差异性,至於是否只差hairy 06/15 14:42
89F：→ davidwales : ball theorem,我就不是很确定 但我想我已经满足了 06/15 14:43
91F：→ KWire : Dummit 的代数课本上面已经有写了啊 06/15 20:22
92F：推 KWire : R 是 field 的时候上面的 module 跟 VS 是同一件事 06/15 20:29