作者TimcApple (肥鵝)
看板Math
標題[其他] TC題 (19) 矩陣
時間Tue May 26 19:38:39 2020
Problem 19
如圖。
https://i.imgur.com/oWMoDUr.jpg
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騙騙沒學過線代高中生的題目，學過就沒啥難度了
原本這題是為了 (5) 出的
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1F：推 tccw0941 : 沒學過 完全不知道從何下手@@ 05/26 22:46
2F：→ tccw0941 : 抱歉 我就爛QQ 05/26 22:46
3F：→ TimcApple : 等等看有人來解吧XD 應該都是高中生姑且看得懂的 05/26 23:00
4F：推 Vulpix : 就只有12。5條件看起來很複雜，但根本沒說B^2019= 05/26 23:52
5F：→ Vulpix : C^2020。 05/26 23:52
100P
(5) 源自於有人問了一題，給了 A^3 和 A^5 的數字，問 A^2
結果他用 A^5 A^(-3) 和 A^(-3) A^5 答案居然不一樣
題外話 如果再加 B^2019 = C^2020 那(5)會對嗎？沒想過這個
6F：推 cuylerLin : 1. invertible iff det \neq 0，所以取det之後發現 05/26 23:57
7F：→ cuylerLin : 不為0，故可逆。 05/26 23:57
8F：→ cuylerLin : 2. (I+A)^{-1}=\sum_{i=0}^{2019}(-1)^i A^i 故可逆 05/26 23:58
9F：→ cuylerLin : 補個衍生題，如果A最大的特徵值(in magnitude)小於1 05/27 00:00
10F：→ cuylerLin : ，則 (I-A) 可逆。 05/27 00:00
11F：→ cuylerLin : 3. 挑一個大小為 2019*2019 的 Jordan 矩陣即為反例 05/27 00:02
12F：→ cuylerLin : 4. 我覺得是對的，考慮對角化，中間的對角(塊)矩陣 05/27 00:10
13F：→ cuylerLin : 就放 z^2020=1 的解，我可以任意排在它的對角線上， 05/27 00:10
14F：→ cuylerLin : *對角化一個 2020*2020 的矩陣 05/27 00:11
15F：→ cuylerLin : 最多應該有 2020! 種可能沒錯。 05/27 00:12
還真的湊的出 2020! 啊... 給你 30P 吧
原本想法：雖然答案明顯有無限多個 但隨便寫個和 2020 有關很大的數字好了
16F：推 Vulpix : 3有更簡單的反例：A=[0 1;0 0]。4剛開始看我還很納 05/27 00:31
17F：→ Vulpix : 悶那個2020!是作什麼用的XD 05/27 00:33
騙高中生用的
18F：→ Vulpix : 因為 e^(π[0 -1;1 0]/1010) 的相似矩陣就已經有 05/27 00:34
19F：→ Vulpix : 無限多個了。 05/27 00:34
20F：→ cuylerLin : 這樣講的話確實可以有無限多個（？）依照我的例子， 05/27 00:54
21F：→ cuylerLin : 中間一樣亂變，但我左右的unitary matrices也可以亂 05/27 00:54
22F：→ cuylerLin : 變就是了 05/27 00:54
23F：→ cuylerLin : 不過我是因為看到 2020! 原本才這樣猜的www 05/27 00:56
話說FB上 其實我有提示：即使只用 2x2 矩陣看待，答案也不會變
不過我想說 Math 板應該不需要這種簡化(?)
※ 編輯: TimcApple (49.216.167.239 臺灣), 05/27/2020 01:07:54
24F：→ cuylerLin : 看來 4. 這個選項單純是來騙人的（ 05/27 01:00
25F：推 Vulpix : 具體來說，可以挑 A = [t 1+t^2;-1 -t]。(A^4=I) 05/27 01:02
26F：推 Vulpix : (5) 加上新條件的話，會對。A=B/C 就搞定了。 05/27 01:12
27F：→ Vulpix : 那題A^3和A^5出錯出成不可交換的喔XD 05/27 01:13