作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[其他] TC题 (19) 矩阵
时间Tue May 26 19:38:39 2020
Problem 19
如图。
https://i.imgur.com/oWMoDUr.jpg
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骗骗没学过线代高中生的题目，学过就没啥难度了
原本这题是为了 (5) 出的
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1F：推 tccw0941 : 没学过 完全不知道从何下手@@ 05/26 22:46
2F：→ tccw0941 : 抱歉 我就烂QQ 05/26 22:46
3F：→ TimcApple : 等等看有人来解吧XD 应该都是高中生姑且看得懂的 05/26 23:00
4F：推 Vulpix : 就只有12。5条件看起来很复杂，但根本没说B^2019= 05/26 23:52
5F：→ Vulpix : C^2020。 05/26 23:52
100P
(5) 源自於有人问了一题，给了 A^3 和 A^5 的数字，问 A^2
结果他用 A^5 A^(-3) 和 A^(-3) A^5 答案居然不一样
题外话 如果再加 B^2019 = C^2020 那(5)会对吗？没想过这个
6F：推 cuylerLin : 1. invertible iff det \neq 0，所以取det之後发现 05/26 23:57
7F：→ cuylerLin : 不为0，故可逆。 05/26 23:57
8F：→ cuylerLin : 2. (I+A)^{-1}=\sum_{i=0}^{2019}(-1)^i A^i 故可逆 05/26 23:58
9F：→ cuylerLin : 补个衍生题，如果A最大的特徵值(in magnitude)小於1 05/27 00:00
10F：→ cuylerLin : ，则 (I-A) 可逆。 05/27 00:00
11F：→ cuylerLin : 3. 挑一个大小为 2019*2019 的 Jordan 矩阵即为反例 05/27 00:02
12F：→ cuylerLin : 4. 我觉得是对的，考虑对角化，中间的对角(块)矩阵 05/27 00:10
13F：→ cuylerLin : 就放 z^2020=1 的解，我可以任意排在它的对角线上， 05/27 00:10
14F：→ cuylerLin : *对角化一个 2020*2020 的矩阵 05/27 00:11
15F：→ cuylerLin : 最多应该有 2020! 种可能没错。 05/27 00:12
还真的凑的出 2020! 啊... 给你 30P 吧
原本想法：虽然答案明显有无限多个 但随便写个和 2020 有关很大的数字好了
16F：推 Vulpix : 3有更简单的反例：A=[0 1;0 0]。4刚开始看我还很纳 05/27 00:31
17F：→ Vulpix : 闷那个2020!是作什麽用的XD 05/27 00:33
骗高中生用的
18F：→ Vulpix : 因为 e^(π[0 -1;1 0]/1010) 的相似矩阵就已经有 05/27 00:34
19F：→ Vulpix : 无限多个了。 05/27 00:34
20F：→ cuylerLin : 这样讲的话确实可以有无限多个（？）依照我的例子， 05/27 00:54
21F：→ cuylerLin : 中间一样乱变，但我左右的unitary matrices也可以乱 05/27 00:54
22F：→ cuylerLin : 变就是了 05/27 00:54
23F：→ cuylerLin : 不过我是因为看到 2020! 原本才这样猜的www 05/27 00:56
话说FB上 其实我有提示：即使只用 2x2 矩阵看待，答案也不会变
不过我想说 Math 板应该不需要这种简化(?)
※ 编辑: TimcApple (49.216.167.239 台湾), 05/27/2020 01:07:54
24F：→ cuylerLin : 看来 4. 这个选项单纯是来骗人的（ 05/27 01:00
25F：推 Vulpix : 具体来说，可以挑 A = [t 1+t^2;-1 -t]。(A^4=I) 05/27 01:02
26F：推 Vulpix : (5) 加上新条件的话，会对。A=B/C 就搞定了。 05/27 01:12
27F：→ Vulpix : 那题A^3和A^5出错出成不可交换的喔XD 05/27 01:13