: Problem 7 : 下列何者 x 為正整數？（複選） : 選項請直接見圖ow o : https://i.imgur.com/cLEMxDO.jpg : : Problem 8 : 如圖片 : https://i.imgur.com/u72R9kE.jpg : : Problem 9 : 如圖 : https://i.imgur.com/p9XRHwx.jp Solution to Problem 7 (1) False 直接除，或是判斷例如9的倍數 感覺出成 True 比較好？ (2) True Fibonacci Sequence 高中生如果沒看過的話，要證明不是那麼容易，以下姑且提供一個暴力方法 設 F(n) = 1/√5 (x^n - y^n), 其中 x = (1+√5)/2, y = -2/(1+√5) 則 F(n) - (x+y) F(n-1) = 1/√5 (x^n - y^n - x^n - y x^(n-1) + y^n + x y^(n-1)) = 1/√5 xy(x^(n-2) - y^(n-2)) = xy F(n-2) 代入 x+y = xy = 1 可得 F(n) = F(n-1) + F(n-2) 現由純計算可得 F(0) = 0, F(1) = 1 因此可輕易得知 F(n) 皆為正整數，F(2020) 也不例外 如何由遞迴式得到一般式？ 個人推薦直接學線性代數解法，一本萬利 (3) True Catalan Number 雖然有這個專有名詞，個人出題也是因為想到這個，但可以直接算 這題的數字有兩個表示法 C(2020,1010) / 1011 = C(2021,1010) / 2021 由於 1011 和 2021 互質，因此 C(2020,1010) 是 1011 的倍數 所以這個數字必然是整數 p.s. 也可以用 1011 = 3 * 337 再算 C(2020,1010) 有多少 3 和 337，只是我不想算這個XD (4) False 明顯出自 Wilson's Theorem 如果 2021 是質數，那證明就靠背了XD 可惜 2021 = 43 * 47 所以右上角的 2020! 就是 2021 的倍數了 p.s. Fermat's Little Theorem 是一樣的原理，所以我沒出 (5) True 其實 tan 或 cot 的差角公式被搬出來的時候 我嚇了一大跳XD 也是，當成斜率也能解 可惜那個公式我不太會orz 我用的是其他方法 [ r ] = [ √3/2 1/2 ] [ 1 ] [ r a_n ] [ -1/2 √3/2 ] [ a_(n-1) ] 因此 (1, a_(n-1)) 所在的直線(斜率為 a_(n-1)) 順時針轉 30 度即為 (1, a_n) 所在的直線(斜率為 a_n) 可以看出轉 6 次之後會重複 其中轉 3 次時會轉到和原直線垂直，即斜率為 2020 的直線 恰好 2020-1 除以 6 的餘數是 3，因此 a_2020 = 2020 是正整數 p.s. 我原本是用 linear fractional transform 的 打詳解的時候才想到，對吼這個高中沒教(?) ======================================================================= Solution to Problem 8 本題關鍵引理如下： (Lem) 設平面向量 u, v 任意實數 a, b 若 w = au + bv，則稱 w 為 u, v 的線性組合 (1) u, v 都是 0，則 w 只能是 0 (2) u, v 平行且不都是 0，則所有 w 在一條直線上(有 u, v 的那一條) (3) u, v 不平行，則 w 可以是平面上任一點 (pf) (1) 顯然 (2) 炸參數式 (3) 由克拉瑪公式解得證 因此在本題中 (1) 若 OA = OB = 0, 則 OC = OD = OE = 0 (2) 若 OA 平行 OB, 則 OC, OD, OE 也全部平行 OA 和 OB (3) 若 OA 和 OB 不平行，設坐標點 (x, y) 為 xOA + yOB，則 C 為 xy = 1 在第一象限的點 D 為 x^2 + y^2 = 1 上的點 E 為 x + y = 0 上的點 每一個選項除非有明顯的直接解 不然分成這三個 case 來看會比較保險，否則就會出事(-1000P) (1) True DE = OE - OD, 可直接用 OA, OB 表示 (2) False 有沒有可能 OA 平行 CD，但 BE 不平行 OA？ 畫個圖就知道了，當然有 (3) True AC = -CE + AE (4) True 由於 AB 直線即為 x + y = 1, 所以 OE 平行 AB 不，其實根本就 OE = -AB 因此 OE = -AB + 0DE 就解決了 (5) False 有沒有可能 OE 平行 OC，但 AD 不平行 OC？ 有，但看圖不容易看出來，因為唯一的可能是 OE = 0 嗯，如果把 log_2 改成 log_4，好像不錯(欸) 當初是希望 (4) False 的，結果因為莫名的原因變 True 了 (5) 當初明明有想到反例，過一陣子之後重解就忘了qw q =================================================================== Solution to Problem 9 LPH66 已經在原篇底下留言 PO 了詳解，即底下連結 https://tinyurl.com/ybtobm7o 答案是全部 (1)(2)(3)(4)(5) 因此我來個一圖流吧ow o https://i.imgur.com/WXuch4o.jpg 由內至外分別是 (1)(3)(4)(5)(2) ================================================================= 好幾天沒打詳解，要是一篇一篇打就洗板了 只要這篇沒過 1000P 應該就不會變少吧(?) --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.162.130 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1590323739.A.589.html Excel...一路領先是這個意思啊(汗 幹你們每個人都知道是卡塔蘭數 我很晚才知道有這東西qw q 我原本知道的是另一個東西： 若 gcd(a,b) = 1, 則 C(a+b, b) / (a+b) 可以表示成從 (0,0) 走到 (a,b) 但除了起點終點，不越過直線 ay = bx 的方法數，因此必須是整數 卡塔蘭數是 a = n+1, b = n 的特例 對吼難怪 我以為是分子領先分母(?) 真假XD 噢天啊valuation(眼神死 ※ 編輯: TimcApple (49.216.162.130 臺灣), 05/24/2020 21:36:30