: Problem 7 : 下列何者 x 为正整数？（复选） : 选项请直接见图ow o : https://i.imgur.com/cLEMxDO.jpg : : Problem 8 : 如图片 : https://i.imgur.com/u72R9kE.jpg : : Problem 9 : 如图 : https://i.imgur.com/p9XRHwx.jp Solution to Problem 7 (1) False 直接除，或是判断例如9的倍数 感觉出成 True 比较好？ (2) True Fibonacci Sequence 高中生如果没看过的话，要证明不是那麽容易，以下姑且提供一个暴力方法 设 F(n) = 1/√5 (x^n - y^n), 其中 x = (1+√5)/2, y = -2/(1+√5) 则 F(n) - (x+y) F(n-1) = 1/√5 (x^n - y^n - x^n - y x^(n-1) + y^n + x y^(n-1)) = 1/√5 xy(x^(n-2) - y^(n-2)) = xy F(n-2) 代入 x+y = xy = 1 可得 F(n) = F(n-1) + F(n-2) 现由纯计算可得 F(0) = 0, F(1) = 1 因此可轻易得知 F(n) 皆为正整数，F(2020) 也不例外 如何由递回式得到一般式？ 个人推荐直接学线性代数解法，一本万利 (3) True Catalan Number 虽然有这个专有名词，个人出题也是因为想到这个，但可以直接算 这题的数字有两个表示法 C(2020,1010) / 1011 = C(2021,1010) / 2021 由於 1011 和 2021 互质，因此 C(2020,1010) 是 1011 的倍数 所以这个数字必然是整数 p.s. 也可以用 1011 = 3 * 337 再算 C(2020,1010) 有多少 3 和 337，只是我不想算这个XD (4) False 明显出自 Wilson's Theorem 如果 2021 是质数，那证明就靠背了XD 可惜 2021 = 43 * 47 所以右上角的 2020! 就是 2021 的倍数了 p.s. Fermat's Little Theorem 是一样的原理，所以我没出 (5) True 其实 tan 或 cot 的差角公式被搬出来的时候 我吓了一大跳XD 也是，当成斜率也能解 可惜那个公式我不太会orz 我用的是其他方法 [ r ] = [ √3/2 1/2 ] [ 1 ] [ r a_n ] [ -1/2 √3/2 ] [ a_(n-1) ] 因此 (1, a_(n-1)) 所在的直线(斜率为 a_(n-1)) 顺时针转 30 度即为 (1, a_n) 所在的直线(斜率为 a_n) 可以看出转 6 次之後会重复 其中转 3 次时会转到和原直线垂直，即斜率为 2020 的直线 恰好 2020-1 除以 6 的余数是 3，因此 a_2020 = 2020 是正整数 p.s. 我原本是用 linear fractional transform 的 打详解的时候才想到，对吼这个高中没教(?) ======================================================================= Solution to Problem 8 本题关键引理如下： (Lem) 设平面向量 u, v 任意实数 a, b 若 w = au + bv，则称 w 为 u, v 的线性组合 (1) u, v 都是 0，则 w 只能是 0 (2) u, v 平行且不都是 0，则所有 w 在一条直线上(有 u, v 的那一条) (3) u, v 不平行，则 w 可以是平面上任一点 (pf) (1) 显然 (2) 炸参数式 (3) 由克拉玛公式解得证 因此在本题中 (1) 若 OA = OB = 0, 则 OC = OD = OE = 0 (2) 若 OA 平行 OB, 则 OC, OD, OE 也全部平行 OA 和 OB (3) 若 OA 和 OB 不平行，设坐标点 (x, y) 为 xOA + yOB，则 C 为 xy = 1 在第一象限的点 D 为 x^2 + y^2 = 1 上的点 E 为 x + y = 0 上的点 每一个选项除非有明显的直接解 不然分成这三个 case 来看会比较保险，否则就会出事(-1000P) (1) True DE = OE - OD, 可直接用 OA, OB 表示 (2) False 有没有可能 OA 平行 CD，但 BE 不平行 OA？ 画个图就知道了，当然有 (3) True AC = -CE + AE (4) True 由於 AB 直线即为 x + y = 1, 所以 OE 平行 AB 不，其实根本就 OE = -AB 因此 OE = -AB + 0DE 就解决了 (5) False 有没有可能 OE 平行 OC，但 AD 不平行 OC？ 有，但看图不容易看出来，因为唯一的可能是 OE = 0 嗯，如果把 log_2 改成 log_4，好像不错(欸) 当初是希望 (4) False 的，结果因为莫名的原因变 True 了 (5) 当初明明有想到反例，过一阵子之後重解就忘了qw q =================================================================== Solution to Problem 9 LPH66 已经在原篇底下留言 PO 了详解，即底下连结 https://tinyurl.com/ybtobm7o 答案是全部 (1)(2)(3)(4)(5) 因此我来个一图流吧ow o https://i.imgur.com/WXuch4o.jpg 由内至外分别是 (1)(3)(4)(5)(2) ================================================================= 好几天没打详解，要是一篇一篇打就洗板了 只要这篇没过 1000P 应该就不会变少吧(?) --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 49.216.162.130 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1590323739.A.589.html Excel...一路领先是这个意思啊(汗 干你们每个人都知道是卡塔兰数 我很晚才知道有这东西qw q 我原本知道的是另一个东西： 若 gcd(a,b) = 1, 则 C(a+b, b) / (a+b) 可以表示成从 (0,0) 走到 (a,b) 但除了起点终点，不越过直线 ay = bx 的方法数，因此必须是整数 卡塔兰数是 a = n+1, b = n 的特例 对吼难怪 我以为是分子领先分母(?) 真假XD 噢天啊valuation(眼神死 ※ 编辑: TimcApple (49.216.162.130 台湾), 05/24/2020 21:36:30