作者knuk (金鋒)
看板Math
標題[中學] 一題無限根號求值
時間Sat May 23 00:01:49 2020
今天無聊搜尋看到一題如下
https://upload.cc/i1/2020/05/22/34UAe8.png
試著解法如下
https://upload.cc/i1/2020/05/22/g0tBh6.jpg
因為假設整數下去算（包含4倍數），發現後面全部合理，不矛盾
但這題我設的f(x)可以不是整數嗎？如果不是整數怎辦？
不知道有沒有更美完善的解法？
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1F：→ cuttlefish : 沒初始值 無法決定吧 但你都猜到答案了 05/23 04:12
2F：→ cuttlefish : 可以用 n = Sqrt{ (n+2)^2 - 4(n+1) } 一直下去 05/23 04:14
4F：→ knuk : 感謝提供，c大給的關係式有在原題下看到 05/23 08:01
5F：→ knuk : 看觀察不出為何從此關係式出發，雖然解法很美 05/23 08:02
6F：→ knuk : L大提供的影片不就得從答案推出題目？ 05/23 08:05
7F：→ knuk : 沒想到跟拉瑪努金有關...傳奇人物 05/23 08:06
9F：→ chemmachine : 這裡有範例講解，把原式化為a=sqrt((a+2)^2-4(a+1)) 05/23 08:54
10F：→ chemmachine : a+1再代入a+1=sqrt((a+3)^2-4(a+2)) 05/23 08:55
11F：→ chemmachine : a+2=sqrt((a+4)^2-4(a+3))一直代下去。這個是不動點 05/23 08:56
12F：→ chemmachine : 解方程式的一種推廣 05/23 08:56
13F：→ chemmachine : 這可以作出任意n次根號、連分數的形式，有些可以估 05/23 08:57
14F：→ chemmachine : 計方程的解。對數，log也可以套用。 05/23 08:58
15F：→ knuk : 讚歎天才無限家。謝c大，這關係式不容易想到。 05/23 09:00
16F：推 chemmachine : 你答案對a=3代入sqrt((a+2)^2-4(a+1))並一直重複 05/23 09:00
17F：→ chemmachine : 其實還是遞迴數列，如cuttle大所言。 05/23 09:01
18F：推 chemmachine : 我也是看那個網站才看懂，以前我自解有作過不動點的 05/23 09:11
19F：→ chemmachine : 的計算，是類似的但拉馬努金還是有點差別，不過現在 05/23 09:12
20F：→ chemmachine : 看就知道大同小異。就是把等式一直往前套，就會得 05/23 09:12
21F：→ chemmachine : 到連環。等式樣子不同，連環式就會是n次根號、連分 05/23 09:13
22F：→ chemmachine : 數，連指數等等 05/23 09:13
23F：→ chemmachine : 理論上連sin cos sinh cosh也是可以的 05/23 09:14
24F：推 chemmachine : 比如說cos[2x]=2cos^2[x]-1 cos[x]=2cos^2[x/2]-1 05/23 09:24
25F：→ chemmachine : 也可以一直代下去 05/23 09:24
26F：推 rebe212296 : 其實出來會是有理數，但是可以表示成循環小數，牛頓 05/23 15:01
27F：→ rebe212296 : 雜誌有介紹過 05/23 15:01
28F：推 rebe212296 : 後面根號裡面，只可能是0，1，4 05/23 16:21
29F：推 rebe212296 : 每個根號出來一定是正整數，不然算式會中斷 05/23 16:24
30F：→ rebe212296 : 上面說錯，根號裡面只有0，1 05/23 16:25
31F：→ rebe212296 : 0，4 05/23 16:26
32F：推 rebe212296 : 要合乎所有根號裡的判斷式，只有0可以，因為根號裡 05/23 16:29
33F：→ rebe212296 : 無限個正整數平方，最後一個根號裡面一定是0 05/23 16:29
34F：推 rebe212296 : 結果答案是1 05/23 16:30
35F：推 rebe212296 : 跟e很像，通常第三項就會趨近答案 05/23 16:48