作者knuk (金锋)
看板Math
标题[中学] 一题无限根号求值
时间Sat May 23 00:01:49 2020
今天无聊搜寻看到一题如下
https://upload.cc/i1/2020/05/22/34UAe8.png
试着解法如下
https://upload.cc/i1/2020/05/22/g0tBh6.jpg
因为假设整数下去算（包含4倍数），发现後面全部合理，不矛盾
但这题我设的f(x)可以不是整数吗？如果不是整数怎办？
不知道有没有更美完善的解法？
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1F：→ cuttlefish : 没初始值 无法决定吧 但你都猜到答案了 05/23 04:12
2F：→ cuttlefish : 可以用 n = Sqrt{ (n+2)^2 - 4(n+1) } 一直下去 05/23 04:14
4F：→ knuk : 感谢提供，c大给的关系式有在原题下看到 05/23 08:01
5F：→ knuk : 看观察不出为何从此关系式出发，虽然解法很美 05/23 08:02
6F：→ knuk : L大提供的影片不就得从答案推出题目？ 05/23 08:05
7F：→ knuk : 没想到跟拉玛努金有关...传奇人物 05/23 08:06
9F：→ chemmachine : 这里有范例讲解，把原式化为a=sqrt((a+2)^2-4(a+1)) 05/23 08:54
10F：→ chemmachine : a+1再代入a+1=sqrt((a+3)^2-4(a+2)) 05/23 08:55
11F：→ chemmachine : a+2=sqrt((a+4)^2-4(a+3))一直代下去。这个是不动点 05/23 08:56
12F：→ chemmachine : 解方程式的一种推广 05/23 08:56
13F：→ chemmachine : 这可以作出任意n次根号、连分数的形式，有些可以估 05/23 08:57
14F：→ chemmachine : 计方程的解。对数，log也可以套用。 05/23 08:58
15F：→ knuk : 赞叹天才无限家。谢c大，这关系式不容易想到。 05/23 09:00
16F：推 chemmachine : 你答案对a=3代入sqrt((a+2)^2-4(a+1))并一直重复 05/23 09:00
17F：→ chemmachine : 其实还是递回数列，如cuttle大所言。 05/23 09:01
18F：推 chemmachine : 我也是看那个网站才看懂，以前我自解有作过不动点的 05/23 09:11
19F：→ chemmachine : 的计算，是类似的但拉马努金还是有点差别，不过现在 05/23 09:12
20F：→ chemmachine : 看就知道大同小异。就是把等式一直往前套，就会得 05/23 09:12
21F：→ chemmachine : 到连环。等式样子不同，连环式就会是n次根号、连分 05/23 09:13
22F：→ chemmachine : 数，连指数等等 05/23 09:13
23F：→ chemmachine : 理论上连sin cos sinh cosh也是可以的 05/23 09:14
24F：推 chemmachine : 比如说cos[2x]=2cos^2[x]-1 cos[x]=2cos^2[x/2]-1 05/23 09:24
25F：→ chemmachine : 也可以一直代下去 05/23 09:24
26F：推 rebe212296 : 其实出来会是有理数，但是可以表示成循环小数，牛顿 05/23 15:01
27F：→ rebe212296 : 杂志有介绍过 05/23 15:01
28F：推 rebe212296 : 後面根号里面，只可能是0，1，4 05/23 16:21
29F：推 rebe212296 : 每个根号出来一定是正整数，不然算式会中断 05/23 16:24
30F：→ rebe212296 : 上面说错，根号里面只有0，1 05/23 16:25
31F：→ rebe212296 : 0，4 05/23 16:26
32F：推 rebe212296 : 要合乎所有根号里的判断式，只有0可以，因为根号里 05/23 16:29
33F：→ rebe212296 : 无限个正整数平方，最後一个根号里面一定是0 05/23 16:29
34F：推 rebe212296 : 结果答案是1 05/23 16:30
35F：推 rebe212296 : 跟e很像，通常第三项就会趋近答案 05/23 16:48