※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言： : ※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言： : : Problem 6 : : f(x), g(x) 皆為三次實係數多項式 : : f(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 g(x) 的根 : : g(x) 有兩相異極值點，其 x 坐標皆為 f(x) 的根 : : 設 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w : : 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相關係數 : : 以下圖片僅供參考 : : https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg : 由於本題問的是相關係數， : 因此對圖形平移、伸縮並不影響答案，以下會用到相關技巧。 : Solution to Problem 6 : <Sol 1> : 考慮 f 的兩極值點 a, b 的位置 : (case 1) a = u, b = w, 此時 g 的兩極值點都只能對 s, 矛盾 : (case 2) a = u, b = v : (case 3) a = v, b = w : 其實 case 2 和 case 3 是一樣的，只要交換 f 和 g 就好 : 不失一般性，設 t 為 f 和 g 的最大根 : f: r s t : ↓ ↑ ↓ ↑ : g: u v w : 由相關係數特性，透過平移可設 t = 0 : 首項係數本來就能隨便設，設 f 的首項係數為 1，g 的首項係數為 3 : f(x) = x^3 + bx^2 + cx : f'(x) = 3x^2 + 2bx + c : g(x) = (x + k)(3x^2 + 2bx + c) : = 3x^3 + (3k+2b)x^2 + (2bk+c)x + ck : g'(x) = 9x^2 + (6k+4b)x + (2bk+c) : 由上圖可知 g'(x) 的兩根為 r, s，因此不為 t = 0 : 比較係數可得 : 6k + 4b = 9b : 2bk + c = 9c : b = (6/5)k : c = (3/10)k^2 : 由相關係數特性，可沿 x 軸伸縮，因此可設 k = 10, b = 12, c = 30 : f(x) = x(x^2+12x+30) : g(x) = 3(x+10)(x^2+8x+10) : f 三根為 -6-√6, -6+√6, 0 : g 三根為 -10, -4-√6, -4+√6 : 由相關係數特性，將兩組根的平均移至 0 : 可得 -2-√6, -2+√6, 4 : 以及 -4, 2-√6, 2+√6 : sum xi yi = 6 + 12√6 : sum xi^2 = sum yi^2 = 36 : 相關係數 = (1+2√6)/6 : <Sol 2> : 見 LimSimE 和 Vulpix 的回覆 : 另外據 Vulpix 表示，有根與係數的解法 根與係數就是硬爆。 　　(x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) = g'(x) = 3(x-r)(x-s) 　　(x-r)(x-s)+(x-s)(x-t)+(x-t)(x-r) = f'(x) = 3(x-v)(x-w) 由以上兩式可得： 　　u(v+w) + vw = 3rs 　　rs + (r+s)t = 3vw 　　 　　2(u+v+w) = 3(r+s)　→　u = 1.5(r+s) - (v+w) 　　2(r+s+t) = 3(v+w)　→　t = 1.5(v+w) - (r+s) 後面這兩式分別代入前兩式： 　　1.5(r+s)(v+w) - (v+w)^2 + vw = 3rs 　　rs + 1.5(v+w)(r+s) - (r+s)^2 = 3vw 兩式相減： 　　-(v+w)^2 + vw - rs + (r+s)^2 = 3rs - 3vw →　(r-s)^2 = (v-w)^2 →　s - r = w - v 不妨設 r = 0, s = 1。(不喜歡簡化的同學可以不要簡化。) 改寫原四式： 　　u(v+w) + vw = 0 　　t = 3vw 　　 　　u = 1.5 - (v+w) 　　t = 1.5(v+w) - 1 得　t = 3vw = -3u(v+w) = -3( 1.5 - (t+1)/1.5 )(t+1)/1.5 →　4t^2 - 4t - 5 = 0 →　t = (1 + √6)/2 (負不合，因 t > 1。) 然後也沒必要確切算出 u,v,w， 要算相關係數可取 u = 0, v = t-1, w = t 作計算。 分母 2 不好看，還可以全部乘以 2。 --

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