※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : ※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : : Problem 6 : : f(x), g(x) 皆为三次实系数多项式 : : f(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 g(x) 的根 : : g(x) 有两相异极值点，其 x 坐标皆为 f(x) 的根 : : 设 f(x) 三根 r < s < t, g(x) 三根 u < v < w : : 求 (r, u), (s, v), (t, w) 的相关系数 : : 以下图片仅供参考 : : https://i.imgur.com/fxTnWtX.jpg : 由於本题问的是相关系数， : 因此对图形平移、伸缩并不影响答案，以下会用到相关技巧。 : Solution to Problem 6 : <Sol 1> : 考虑 f 的两极值点 a, b 的位置 : (case 1) a = u, b = w, 此时 g 的两极值点都只能对 s, 矛盾 : (case 2) a = u, b = v : (case 3) a = v, b = w : 其实 case 2 和 case 3 是一样的，只要交换 f 和 g 就好 : 不失一般性，设 t 为 f 和 g 的最大根 : f: r s t : ↓ ↑ ↓ ↑ : g: u v w : 由相关系数特性，透过平移可设 t = 0 : 首项系数本来就能随便设，设 f 的首项系数为 1，g 的首项系数为 3 : f(x) = x^3 + bx^2 + cx : f'(x) = 3x^2 + 2bx + c : g(x) = (x + k)(3x^2 + 2bx + c) : = 3x^3 + (3k+2b)x^2 + (2bk+c)x + ck : g'(x) = 9x^2 + (6k+4b)x + (2bk+c) : 由上图可知 g'(x) 的两根为 r, s，因此不为 t = 0 : 比较系数可得 : 6k + 4b = 9b : 2bk + c = 9c : b = (6/5)k : c = (3/10)k^2 : 由相关系数特性，可沿 x 轴伸缩，因此可设 k = 10, b = 12, c = 30 : f(x) = x(x^2+12x+30) : g(x) = 3(x+10)(x^2+8x+10) : f 三根为 -6-√6, -6+√6, 0 : g 三根为 -10, -4-√6, -4+√6 : 由相关系数特性，将两组根的平均移至 0 : 可得 -2-√6, -2+√6, 4 : 以及 -4, 2-√6, 2+√6 : sum xi yi = 6 + 12√6 : sum xi^2 = sum yi^2 = 36 : 相关系数 = (1+2√6)/6 : <Sol 2> : 见 LimSimE 和 Vulpix 的回覆 : 另外据 Vulpix 表示，有根与系数的解法 根与系数就是硬爆。 　　(x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) = g'(x) = 3(x-r)(x-s) 　　(x-r)(x-s)+(x-s)(x-t)+(x-t)(x-r) = f'(x) = 3(x-v)(x-w) 由以上两式可得： 　　u(v+w) + vw = 3rs 　　rs + (r+s)t = 3vw 　　 　　2(u+v+w) = 3(r+s)　→　u = 1.5(r+s) - (v+w) 　　2(r+s+t) = 3(v+w)　→　t = 1.5(v+w) - (r+s) 後面这两式分别代入前两式： 　　1.5(r+s)(v+w) - (v+w)^2 + vw = 3rs 　　rs + 1.5(v+w)(r+s) - (r+s)^2 = 3vw 两式相减： 　　-(v+w)^2 + vw - rs + (r+s)^2 = 3rs - 3vw →　(r-s)^2 = (v-w)^2 →　s - r = w - v 不妨设 r = 0, s = 1。(不喜欢简化的同学可以不要简化。) 改写原四式： 　　u(v+w) + vw = 0 　　t = 3vw 　　 　　u = 1.5 - (v+w) 　　t = 1.5(v+w) - 1 得　t = 3vw = -3u(v+w) = -3( 1.5 - (t+1)/1.5 )(t+1)/1.5 →　4t^2 - 4t - 5 = 0 →　t = (1 + √6)/2 (负不合，因 t > 1。) 然後也没必要确切算出 u,v,w， 要算相关系数可取 u = 0, v = t-1, w = t 作计算。 分母 2 不好看，还可以全部乘以 2。 --

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