※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言： : 這一題也很有趣，分享想法和步驟 : 但是細節懶得寫，也懶得算相關係數。 : 可設f,g首項係數為1 : 則有 : 3g(x) = f'(x) l_1(x) ...(1) : 3f(x) = g'(x) l_2(x) ...(2) : 其中l_1, l_2為x+?型式之一次式。 : 然後這個題目就變成微分方程 : 想法1： : (1)左右微分以後，得到g'=...代入(2)，得到一個f的線性二階ODE : 但是這個方法我做不出來。 如果先不顧慮根的順序，可以假設 l_1(x) = x-w, l_2(x) = x-r。 然後因為 f(x) 是三次多項式，所以假設 f(x) = (x-r)^3 + a(x-r)^2 + b(x-r)。 代入 ODE 後可解得 a = 6(r-w)/5, b = 3(r-w)^2/10。 把 f' 代入 (1) 式可以得到 g(x)。 然後根就都解出來了。再稍微考慮一下大小順序， s,t,u,v 就都能用 r 和 w 表示出來，那只差計算相關係數了。 不過我本來是用根與係數硬爆的。 : 這時留下一個問題 : 那就是根據想法(1)，這是線性二階ODE，要有2個線性獨立解，那另一個解是甚麼？ 也可以用 Froebenius Method 做，既然已經有了一解，那另一解就可以降階做出來。 實際上這個方程的 index equation 解出的兩個 index 是 0 和 1。 (以 x = r 為奇異點。) 此時 index 相差整數，須要擔心是否有 log 項。 還真的有。 ---------------- 事實上，如果已知 ODE 有發散解的話， 我們可以知道 f 和 g 的多項式解是唯一的。 有了這個前提，將 f(x) 和 g(x) 的圖形繞著 (r,0) 和 (w,0) 的中點旋轉半圈， 會得到完全相同的圖。 也就是說 g(x) = -f(r+w-x)。 所以 u, v 也是由 t, s 兩根旋轉過來的。 不過我不清楚怎麼在開解之前就知道 Froebenius Method 一定有 log 項。 至於 r 和 w 的選擇可以從圖上判斷。 首先可以排除 l_j 是 x-s, x-v 的可能。 然後如果選了 x-r，另一個就只能是 x-w。 (如果選了 x-t，另一個也只能是 x-u。) 最後這一段……好難寫啊。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1589968425.A.407.html 最後那一段也可以套用在根與係數硬爆的過程上。 是能夠簡化一點計算的。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 05/20/2020 18:31:27