※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之铭言： : 这一题也很有趣，分享想法和步骤 : 但是细节懒得写，也懒得算相关系数。 : 可设f,g首项系数为1 : 则有 : 3g(x) = f'(x) l_1(x) ...(1) : 3f(x) = g'(x) l_2(x) ...(2) : 其中l_1, l_2为x+?型式之一次式。 : 然後这个题目就变成微分方程 : 想法1： : (1)左右微分以後，得到g'=...代入(2)，得到一个f的线性二阶ODE : 但是这个方法我做不出来。 如果先不顾虑根的顺序，可以假设 l_1(x) = x-w, l_2(x) = x-r。 然後因为 f(x) 是三次多项式，所以假设 f(x) = (x-r)^3 + a(x-r)^2 + b(x-r)。 代入 ODE 後可解得 a = 6(r-w)/5, b = 3(r-w)^2/10。 把 f' 代入 (1) 式可以得到 g(x)。 然後根就都解出来了。再稍微考虑一下大小顺序， s,t,u,v 就都能用 r 和 w 表示出来，那只差计算相关系数了。 不过我本来是用根与系数硬爆的。 : 这时留下一个问题 : 那就是根据想法(1)，这是线性二阶ODE，要有2个线性独立解，那另一个解是甚麽？ 也可以用 Froebenius Method 做，既然已经有了一解，那另一解就可以降阶做出来。 实际上这个方程的 index equation 解出的两个 index 是 0 和 1。 (以 x = r 为奇异点。) 此时 index 相差整数，须要担心是否有 log 项。 还真的有。 ---------------- 事实上，如果已知 ODE 有发散解的话， 我们可以知道 f 和 g 的多项式解是唯一的。 有了这个前提，将 f(x) 和 g(x) 的图形绕着 (r,0) 和 (w,0) 的中点旋转半圈， 会得到完全相同的图。 也就是说 g(x) = -f(r+w-x)。 所以 u, v 也是由 t, s 两根旋转过来的。 不过我不清楚怎麽在开解之前就知道 Froebenius Method 一定有 log 项。 至於 r 和 w 的选择可以从图上判断。 首先可以排除 l_j 是 x-s, x-v 的可能。 然後如果选了 x-r，另一个就只能是 x-w。 (如果选了 x-t，另一个也只能是 x-u。) 最後这一段……好难写啊。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1589968425.A.407.html 最後那一段也可以套用在根与系数硬爆的过程上。 是能够简化一点计算的。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 05/20/2020 18:31:27