※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言： : Problem 4 : 已知 f(x) 為實係數多項式 : 對任意實數θ，代 x = cosθ 會得到 f(sinθ) : 下列何者正確？（複選） : (1) f(3) 不存在 : (2) f(x) 可能是 6 次式 : (3) 代 x = i 會得到 f(-i) : (4) 若代 x = 1/4 會得到 -f(-1/4)，則 f(x) = 0 : (5) f'(1/√2) <= f'(0) : (圖片和以上敘述相同) : https://i.imgur.com/RDMEfoZ.jpg 本題的關鍵是盡可能找出 f(x) 應有的性質 可以直接刻畫 f(x) 那再好不過了 ============================================================== (Lem) 兩多項式 f(x), g(x)，若有無限多個 a 滿足 f(a) = g(a) 則對所有實數 x 確實有 f(x) = g(x) (pf) h(x) = f(x) - g(x) 是多項式 有無限多個根 a，因此 h(x) 只能是 0 ============================================================== Solution to Problem 4 (Step 1) 尋找 f(x) 的性質 首先，由於 f(-sinθ) = cos(-θ) = cosθ = f(sinθ) 有無限多個 a 滿足 f(-a) = f(a) 因此 f 必為偶函數，存在多項式 g 使得 f(x) = g(x^2) 接著，由 f(cosθ) = f(sinθ) 可得 g(cos^2 θ) = g(1 - cos^2 θ) 因此有無限多個 y 滿足 g(y) = g(1-y) 對稱軸是 y = 1/2，設多項式 h 是 g 的平移，即 h(z) = g(z+1/2) 可得 h(-z) = g(-z+1/2) = g(1-(-z+1/2)) = g(z+1/2) = h(z) 因此 h 是偶函數，存在多項式 k 使得 h(z) = k(z^2) 整理可得 f(x) = g(x^2) = h(x^2-1/2) = k((x^2-1/2)^2) 所以 f 其實是 w = (x^2-1/2)^2 的多項式 很容易確認所有 w 的多項式，代 cosθ 和 sinθ 會一樣 因此這就是 f 的刻畫了 (Step 2) 確認選項 (1) 錯誤 f(x) 是多項式，定義域為全實數 且至少存在一解 (ex: f(x) = 0)，因此 f(3) 必然會有 (2) 錯誤 f 是 w 的多項式，但 w 是 4 次式， 因此非零 f 的次數只能是 4 的倍數 (3) 正確 可由 w(i) = w(-i) 得知。實際上偶函數就夠了。 (4) 錯誤 f(x) 看起來要是奇函數，但未必如此 反例是 f(-1/4) = f(1/4) = 0，例如 f = w - w(1/4) (5) 正確 1/√2 是 w 的重根，因此微分後 f'(1/√2) 必為 0 由於 f 是偶函數，f'(0) = 0，因此兩者相等 因此答案為 (3)(5) ow o --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.48.74 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1589728369.A.6E1.html