※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : Problem 4 : 已知 f(x) 为实系数多项式 : 对任意实数θ，代 x = cosθ 会得到 f(sinθ) : 下列何者正确？（复选） : (1) f(3) 不存在 : (2) f(x) 可能是 6 次式 : (3) 代 x = i 会得到 f(-i) : (4) 若代 x = 1/4 会得到 -f(-1/4)，则 f(x) = 0 : (5) f'(1/√2) <= f'(0) : (图片和以上叙述相同) : https://i.imgur.com/RDMEfoZ.jpg 本题的关键是尽可能找出 f(x) 应有的性质 可以直接刻画 f(x) 那再好不过了 ============================================================== (Lem) 两多项式 f(x), g(x)，若有无限多个 a 满足 f(a) = g(a) 则对所有实数 x 确实有 f(x) = g(x) (pf) h(x) = f(x) - g(x) 是多项式 有无限多个根 a，因此 h(x) 只能是 0 ============================================================== Solution to Problem 4 (Step 1) 寻找 f(x) 的性质 首先，由於 f(-sinθ) = cos(-θ) = cosθ = f(sinθ) 有无限多个 a 满足 f(-a) = f(a) 因此 f 必为偶函数，存在多项式 g 使得 f(x) = g(x^2) 接着，由 f(cosθ) = f(sinθ) 可得 g(cos^2 θ) = g(1 - cos^2 θ) 因此有无限多个 y 满足 g(y) = g(1-y) 对称轴是 y = 1/2，设多项式 h 是 g 的平移，即 h(z) = g(z+1/2) 可得 h(-z) = g(-z+1/2) = g(1-(-z+1/2)) = g(z+1/2) = h(z) 因此 h 是偶函数，存在多项式 k 使得 h(z) = k(z^2) 整理可得 f(x) = g(x^2) = h(x^2-1/2) = k((x^2-1/2)^2) 所以 f 其实是 w = (x^2-1/2)^2 的多项式 很容易确认所有 w 的多项式，代 cosθ 和 sinθ 会一样 因此这就是 f 的刻画了 (Step 2) 确认选项 (1) 错误 f(x) 是多项式，定义域为全实数 且至少存在一解 (ex: f(x) = 0)，因此 f(3) 必然会有 (2) 错误 f 是 w 的多项式，但 w 是 4 次式， 因此非零 f 的次数只能是 4 的倍数 (3) 正确 可由 w(i) = w(-i) 得知。实际上偶函数就够了。 (4) 错误 f(x) 看起来要是奇函数，但未必如此 反例是 f(-1/4) = f(1/4) = 0，例如 f = w - w(1/4) (5) 正确 1/√2 是 w 的重根，因此微分後 f'(1/√2) 必为 0 由於 f 是偶函数，f'(0) = 0，因此两者相等 因此答案为 (3)(5) ow o --

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