作者TimcApple (肥鵝)
看板Math
標題[其他] TC題 (2) 排列組合/空間座標
時間Tue May 12 21:21:10 2020
Problem 2
設 x, y, z 為 {-2, -1, 0, 1, 2} 中的任一數
因此 S = {(x, y, z)} 共有 125 個座標點
試問有多少正三角形的三頂點皆在 S 內？
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不是每一題都像 Problem 1 那樣的
也有這種比較平淡的題目
p.s. 平面上的正三角形，三頂點甚至不能全都是有理數點
但空間中的正三角形，三頂點要是整數點很容易，而且比想像中的還要多
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1F：推 alan23273850: 我猜 30 個 05/12 22:16
mmm... 你知道 每個1x1x1的小正立方體，都會給你 8 組解嗎XD
2F：→ alan23273850: 乾 改 40，這樣可以ㄇ 我的想法是一樣ㄉ 05/12 22:22
3F：→ alan23273850: 可是我覺得這題精彩的地方在於證明沒有其他種可能 05/12 22:23
這一組點有 64 個單位小正方體... / 同意
4F：推 alan23273850: 再改: (4^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3) * 8, 這樣總對了ㄅ 05/12 22:38
不錯 基本的找完了 還有比較複雜的XD
5F：推 zinvun : 答案是400嗎？ 05/12 22:41
6F：→ zinvun : 是的話再附上計算過程XD 05/12 22:42
不是 樓上那樣就 800 了還不夠ow o
7F：→ alan23273850: 我猜拉，剩下的三角形應該要是把三邊長的平方各自用 05/12 23:27
8F：→ alan23273850: 代數的方式表示，然後看有沒有正整數解，也就是丟翻 05/12 23:27
9F：→ alan23273850: 圖方程式，就要假設三個式子要相等的條件下去解，如 05/12 23:27
10F：→ alan23273850: 果是這樣的話我就不算等解答了XDD 反正我不缺批幣 05/12 23:28
11F：→ alan23273850: 其實是因為我平常還有研究工作要忙，再想這個腦袋會 05/12 23:28
12F：→ alan23273850: 過勞 05/12 23:28
可以理解 我也是最近才比較有空 辛苦了
13F：推 zinvun : 1024？ 05/13 00:31
14F：推 LPH66 : 我數出 1264 種 05/13 15:46
15F：推 sunev : 和樓上一樣，我是用程式硬幹的 05/13 16:04
既然有兩個人跟我一樣 那應該沒錯了(?)
LPH66 100P sunev 10P 參加獎ow o 已轉
16F：推 chemmachine : 我沒真的做，用MATHEMATICA的判斷功能或EXCEL的IF 05/13 16:28
17F：→ chemmachine : 函數和AND，IF(AND(判斷句1，判斷句2)，1，0)TRUE 05/13 16:31
18F：→ chemmachine : 傳回1，FALSE傳回0。判斷句1為(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2 05/13 16:32
19F：→ chemmachine : +(Z1-Z2)^2=(X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2 05/13 16:34
20F：→ chemmachine : 判斷句2為(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2=(X2-X3)^2 05/13 16:35
21F：→ chemmachine : (Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2 最後用COUNT函數數真值為1的 05/13 16:37
22F：→ chemmachine : 總和就是解的個數。C 或C++也可以，我不熟就是了 05/13 16:37
23F：→ chemmachine : 125組解可以手動輸入，應該也有陣列函數可以生成 05/13 16:38
24F：→ chemmachine : 125個點 05/13 16:38
25F：→ chemmachine : 純數方法沒想到 05/13 16:39
也就是勉強有點技術其實還是窮舉而已
是說 我正在想三天後才貼解答好像有點太久了(?)
還是算了 三天保證還是有必要的
26F：推 LPH66 : 那就貼一下我的列舉過程好了 05/13 18:11
28F：推 chemmachine : 不愧是奧數高手~~ 05/13 18:50
29F：推 TOOYA : 就125取3種組合，暴力下去吧！ 05/14 17:17
30F：推 LPH66 : 我是覺得啦, 取範圍到正負 2 的用意大概是: 05/14 19:24
31F：→ LPH66 : (1) 真‧暴力法就是 C(125,3) 這顯然不是隨便能做 05/14 19:25
32F：→ LPH66 : 但如果有觀察到座標差的人馬上就能縮到 C(35,3) 05/14 19:26
33F：→ LPH66 : (2) 800 + 224 個很容易在這個觀察下找出來 05/14 19:26
34F：→ LPH66 : 16*(8+1) 個或許可以從那 224 個調一下歪出來 05/14 19:27
35F：→ LPH66 : 但 sqrt(18) 那 96 個還真得要求出座標差的長度 05/14 19:27
36F：→ LPH66 : 再去湊才行; 正負 2 這個距離有 4 的範圍 05/14 19:28
37F：→ LPH66 : 是第一個包含這種三邊不是同質性邊的組合 05/14 19:28
幹你真懂XD 特別是最後一行
另外，三組皆為 (a, b, c) 其實只能是 a = b + c 或其交換
因此 800 + 224 + 144 都是 regular case
這種 case 可以將正立方體以長對角線站直，然後移動水平切面連續截出來
irregular case 我就沒想到好方法能一次炸完，只能湊長度
※ 編輯: TimcApple (101.12.71.213 臺灣), 05/14/2020 21:48:19