作者TimcApple (肥鹅)
看板Math
标题[其他] TC题 (2) 排列组合/空间座标
时间Tue May 12 21:21:10 2020
Problem 2
设 x, y, z 为 {-2, -1, 0, 1, 2} 中的任一数
因此 S = {(x, y, z)} 共有 125 个座标点
试问有多少正三角形的三顶点皆在 S 内？
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不是每一题都像 Problem 1 那样的
也有这种比较平淡的题目
p.s. 平面上的正三角形，三顶点甚至不能全都是有理数点
但空间中的正三角形，三顶点要是整数点很容易，而且比想像中的还要多
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1F：推 alan23273850: 我猜 30 个 05/12 22:16
mmm... 你知道 每个1x1x1的小正立方体，都会给你 8 组解吗XD
2F：→ alan23273850: 乾 改 40，这样可以ㄇ 我的想法是一样ㄉ 05/12 22:22
3F：→ alan23273850: 可是我觉得这题精彩的地方在於证明没有其他种可能 05/12 22:23
这一组点有 64 个单位小正方体... / 同意
4F：推 alan23273850: 再改: (4^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3) * 8, 这样总对了ㄅ 05/12 22:38
不错 基本的找完了 还有比较复杂的XD
5F：推 zinvun : 答案是400吗？ 05/12 22:41
6F：→ zinvun : 是的话再附上计算过程XD 05/12 22:42
不是 楼上那样就 800 了还不够ow o
7F：→ alan23273850: 我猜拉，剩下的三角形应该要是把三边长的平方各自用 05/12 23:27
8F：→ alan23273850: 代数的方式表示，然後看有没有正整数解，也就是丢翻 05/12 23:27
9F：→ alan23273850: 图方程式，就要假设三个式子要相等的条件下去解，如 05/12 23:27
10F：→ alan23273850: 果是这样的话我就不算等解答了XDD 反正我不缺批币 05/12 23:28
11F：→ alan23273850: 其实是因为我平常还有研究工作要忙，再想这个脑袋会 05/12 23:28
12F：→ alan23273850: 过劳 05/12 23:28
可以理解 我也是最近才比较有空 辛苦了
13F：推 zinvun : 1024？ 05/13 00:31
14F：推 LPH66 : 我数出 1264 种 05/13 15:46
15F：推 sunev : 和楼上一样，我是用程式硬干的 05/13 16:04
既然有两个人跟我一样 那应该没错了(?)
LPH66 100P sunev 10P 参加奖ow o 已转
16F：推 chemmachine : 我没真的做，用MATHEMATICA的判断功能或EXCEL的IF 05/13 16:28
17F：→ chemmachine : 函数和AND，IF(AND(判断句1，判断句2)，1，0)TRUE 05/13 16:31
18F：→ chemmachine : 传回1，FALSE传回0。判断句1为(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2 05/13 16:32
19F：→ chemmachine : +(Z1-Z2)^2=(X1-X3)^2+(Y1-Y3)^2+(Z1-Z3)^2 05/13 16:34
20F：→ chemmachine : 判断句2为(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2+(Z1-Z2)^2=(X2-X3)^2 05/13 16:35
21F：→ chemmachine : (Y2-Y3)^2+(Z2-Z3)^2 最後用COUNT函数数真值为1的 05/13 16:37
22F：→ chemmachine : 总和就是解的个数。C 或C++也可以，我不熟就是了 05/13 16:37
23F：→ chemmachine : 125组解可以手动输入，应该也有阵列函数可以生成 05/13 16:38
24F：→ chemmachine : 125个点 05/13 16:38
25F：→ chemmachine : 纯数方法没想到 05/13 16:39
也就是勉强有点技术其实还是穷举而已
是说 我正在想三天後才贴解答好像有点太久了(?)
还是算了 三天保证还是有必要的
26F：推 LPH66 : 那就贴一下我的列举过程好了 05/13 18:11
28F：推 chemmachine : 不愧是奥数高手~~ 05/13 18:50
29F：推 TOOYA : 就125取3种组合，暴力下去吧！ 05/14 17:17
30F：推 LPH66 : 我是觉得啦, 取范围到正负 2 的用意大概是: 05/14 19:24
31F：→ LPH66 : (1) 真‧暴力法就是 C(125,3) 这显然不是随便能做 05/14 19:25
32F：→ LPH66 : 但如果有观察到座标差的人马上就能缩到 C(35,3) 05/14 19:26
33F：→ LPH66 : (2) 800 + 224 个很容易在这个观察下找出来 05/14 19:26
34F：→ LPH66 : 16*(8+1) 个或许可以从那 224 个调一下歪出来 05/14 19:27
35F：→ LPH66 : 但 sqrt(18) 那 96 个还真得要求出座标差的长度 05/14 19:27
36F：→ LPH66 : 再去凑才行; 正负 2 这个距离有 4 的范围 05/14 19:28
37F：→ LPH66 : 是第一个包含这种三边不是同质性边的组合 05/14 19:28
干你真懂XD 特别是最後一行
另外，三组皆为 (a, b, c) 其实只能是 a = b + c 或其交换
因此 800 + 224 + 144 都是 regular case
这种 case 可以将正立方体以长对角线站直，然後移动水平切面连续截出来
irregular case 我就没想到好方法能一次炸完，只能凑长度
※ 编辑: TimcApple (101.12.71.213 台湾), 05/14/2020 21:48:19