作者putintostyle (阿澤)
看板Math
標題[分析] Royden 弱收斂的有界證明
時間Sat May 9 17:45:57 2020
小弟我讀的是royden 第四版的
http://i.imgur.com/efPU7z5.jpg
在定理7裡面他要討論在Lp p>=1的時候
一個序列如果是weak convergent => bounded
課本裡面在定義e_n 裡面 \sum e_k f_n*要改成\sum e_k f_k*
這裡有個小typo
對於證明我有兩個問題
(1) e_k這個序列他主要是怎麼定義的，有點不太懂他為什麼這樣定義
(2) (19)那邊的不等式我不知道怎麼推得的，大於等於那個地方
還請板上大大可以提示一下Orz
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1F：推 cuylerLin : 我自己當時上課也是用Royden，不過是用第三版... 05/10 04:04
感謝大大，我看懂了
2F：→ cuylerLin : 不是很喜歡他的書，他把很多東西放到習題，例如你第 05/10 04:05
3F：→ cuylerLin : 一個問題，好像跟Problem 8.18 有關吧，建議你先去 05/10 04:05
4F：→ cuylerLin : 看一下。 05/10 04:05
5F：→ cuylerLin : 第二個問題的話，一坨summation一定會大於等於其中 05/10 04:06
6F：→ cuylerLin : 一項，然後他{e_k}序列的造法是為了讓積分都是非負 05/10 04:07
7F：→ cuylerLin : 的，所以取特例k=n，裡面的東西積分就是 05/10 04:07
8F：→ cuylerLin : f_n的L^p-norm，e_k定義的常數往外提。 05/10 04:08
9F：→ cuylerLin : 這個定理有一個更廣義的版本：Let {x_n} be a seq. 05/10 04:09
10F：→ cuylerLin : in Banach space E. If x_n converges weakly to x 05/10 04:10
11F：→ cuylerLin : in E, then (1) {x_n} is bdd. in E and 05/10 04:10
12F：→ cuylerLin : (2)x在E上的範數不超過 liminf x_n 在E上的範數 05/10 04:11
13F：→ cuylerLin : 這個證明會需要用到Banach-Steinhaus定理 05/10 04:13
14F：→ cuylerLin : 而再回來看你的問題，這裡在講 L^p class，所以應該 05/10 04:13
15F：→ cuylerLin : 是有屬於L^p空間自己特別的證明(比較狹隘)，因為上 05/10 04:14
16F：→ cuylerLin : 面的定理直接取 E=L^p、x_n=f_n、x=f 就證完了 05/10 04:17
17F：推 cuylerLin : 如果不借用泛函分析的工具的話，實分析處理起來個人 05/10 04:20
18F：→ cuylerLin : 覺得麻煩XD 至於為什麼{e_k}要那樣取，你看下一頁他 05/10 04:21
19F：→ cuylerLin : 是怎麼估計的應該就是為了湊出一個n/2的gap 05/10 04:21
※ 編輯: putintostyle (101.15.216.160 臺灣), 05/15/2020 21:03:51