作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
標題[其他] 排列組合恆等式 別人在社團問的好奇求解
時間Mon May 4 21:52:00 2020
乳題，在數學愛好者上面看到的，
https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/2887692337946162/
因為那邊沒人留言，只是好奇有沒有人會解～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.168.67.91 (臺灣)
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1588600324.A.920.html
1F：→ alan23273850: 因為是我也有興趣的題目，所以如果解出來的話我願 05/05 08:42
2F：→ alan23273850: 意貢獻 1000P 05/05 08:42
3F：→ yhliu : 你導出的公式是 E[X] = Σ[k=1~n] k P[X=k} 05/05 10:26
4F：→ yhliu : Wiki 的公式是另一期望值公式 Σ[k=0~n] P[X>k] 05/05 10:27
5F：→ yhliu : 都是計算非負整數值隨機變數期望值的公式, 所以相等 05/05 10:29
6F：→ yhliu : E[X] = Σ[k=1~n](Σ[j=1~k] 1) P[X=k] 05/05 10:36
7F：→ yhliu : 寫錯了, 是 E[X] = Σ[k=1~n+1] k P[X=k} 05/05 10:39
8F：→ yhliu : E[X] = Σ[k=1~n+1](Σ[j=1~k] 1) P[X=k] 05/05 10:39
9F：→ yhliu : = Σ[j=1~n+1]Σ[k=j~n+1] P[X=k] 05/05 10:40
10F：→ yhliu : = Σ[j=1~n+1] P[X≧j] = Σ[k=0~n] P[X>k] 05/05 10:41
11F：→ alan23273850: 我等等有空會看，確定弄懂之後會給您1000P 請稍待～ 05/05 12:11
12F：→ alan23273850: 大概懂方向，可是還是覺得跳有點快，希望大大能多加 05/06 00:24
13F：→ alan23273850: 說明，那個 P 函數一定要是機率函數嗎？因為我不確 05/06 00:25
14F：→ alan23273850: 定它圖中導出來的函數就是機率函數，有沒有其他種類 05/06 00:26
15F：→ alan23273850: 的函數也能滿足這個概念呢？我還是先給 1000P ! 05/06 00:26
16F：→ yhliu : 實際上你的公式是 Σ[k=1~n](k+1)P[X=k+1], 其中n 05/06 06:37
17F：→ yhliu : 你好像是用b, wiki 則用M. 05/06 06:38
18F：→ yhliu : X=k+1 就是前k人生日都不同, 而第k+1人生日同前k人 05/06 06:40
19F：→ yhliu : 之一, 所以是 kn!/[(n-k)!n^(k+1)]. 05/06 06:41
20F：→ yhliu : 而 X>k 就是 k 人生日都不同, 所以機率是 05/06 06:43
21F：→ yhliu : n![(n-k)!n^k]. Wiki中Q函數是 Σ[k=1~n]P[X>k], 05/06 06:44
22F：→ yhliu : 額外再加1是P[X>0]. 05/06 06:45
23F：→ yhliu : 直接就兩式子推導的話就是 05/06 06:47
24F：→ yhliu : Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)] 05/06 06:47
25F：→ yhliu : = Σ_k(Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k] 05/06 06:49
26F：→ yhliu : 寫錯了. =Σ_kΣ[j=0~k]kn!/[(n-k)!n^(k+1)] 05/06 07:05
27F：→ yhliu : =Σ_jΣ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1) 05/06 07:10
28F：→ yhliu : 這裡必須令 k=n 時, n!/(n-k-1)! = 0, 因為它原型是 05/06 07:16
29F：→ yhliu : n(n-1)...(n-k). 05/06 07:16
30F：→ yhliu : ∴ Σ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)] 05/06 07:18
31F：→ yhliu : = n!/[(n-k)!n^k] 05/06 07:19
32F：→ yhliu : ∴Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)] = 05/06 07:20
33F：→ yhliu : 又寫錯... 05/06 07:22
34F：→ yhliu : Σ[k=j~n]{n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)]} 05/06 07:23
35F：→ yhliu : = n!/[(n-j)!n^j] 05/06 07:24
36F：→ yhliu : ∴Σ[k=0~n](Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k] 05/06 07:25
37F：→ yhliu : = Σ[j=0~n] n!/[(n-j)!n^j] = wiki 的 1+Q(.) 05/06 07:26