作者alan23273850 (God of Computer Science)
看板Math
标题[其他] 排列组合恒等式 别人在社团问的好奇求解
时间Mon May 4 21:52:00 2020
乳题，在数学爱好者上面看到的，
https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/2887692337946162/
因为那边没人留言，只是好奇有没有人会解～
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1F：→ alan23273850: 因为是我也有兴趣的题目，所以如果解出来的话我愿 05/05 08:42
2F：→ alan23273850: 意贡献 1000P 05/05 08:42
3F：→ yhliu : 你导出的公式是 E[X] = Σ[k=1~n] k P[X=k} 05/05 10:26
4F：→ yhliu : Wiki 的公式是另一期望值公式 Σ[k=0~n] P[X>k] 05/05 10:27
5F：→ yhliu : 都是计算非负整数值随机变数期望值的公式, 所以相等 05/05 10:29
6F：→ yhliu : E[X] = Σ[k=1~n](Σ[j=1~k] 1) P[X=k] 05/05 10:36
7F：→ yhliu : 写错了, 是 E[X] = Σ[k=1~n+1] k P[X=k} 05/05 10:39
8F：→ yhliu : E[X] = Σ[k=1~n+1](Σ[j=1~k] 1) P[X=k] 05/05 10:39
9F：→ yhliu : = Σ[j=1~n+1]Σ[k=j~n+1] P[X=k] 05/05 10:40
10F：→ yhliu : = Σ[j=1~n+1] P[X≧j] = Σ[k=0~n] P[X>k] 05/05 10:41
11F：→ alan23273850: 我等等有空会看，确定弄懂之後会给您1000P 请稍待～ 05/05 12:11
12F：→ alan23273850: 大概懂方向，可是还是觉得跳有点快，希望大大能多加 05/06 00:24
13F：→ alan23273850: 说明，那个 P 函数一定要是机率函数吗？因为我不确 05/06 00:25
14F：→ alan23273850: 定它图中导出来的函数就是机率函数，有没有其他种类 05/06 00:26
15F：→ alan23273850: 的函数也能满足这个概念呢？我还是先给 1000P ! 05/06 00:26
16F：→ yhliu : 实际上你的公式是 Σ[k=1~n](k+1)P[X=k+1], 其中n 05/06 06:37
17F：→ yhliu : 你好像是用b, wiki 则用M. 05/06 06:38
18F：→ yhliu : X=k+1 就是前k人生日都不同, 而第k+1人生日同前k人 05/06 06:40
19F：→ yhliu : 之一, 所以是 kn!/[(n-k)!n^(k+1)]. 05/06 06:41
20F：→ yhliu : 而 X>k 就是 k 人生日都不同, 所以机率是 05/06 06:43
21F：→ yhliu : n![(n-k)!n^k]. Wiki中Q函数是 Σ[k=1~n]P[X>k], 05/06 06:44
22F：→ yhliu : 额外再加1是P[X>0]. 05/06 06:45
23F：→ yhliu : 直接就两式子推导的话就是 05/06 06:47
24F：→ yhliu : Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)] 05/06 06:47
25F：→ yhliu : = Σ_k(Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k] 05/06 06:49
26F：→ yhliu : 写错了. =Σ_kΣ[j=0~k]kn!/[(n-k)!n^(k+1)] 05/06 07:05
27F：→ yhliu : =Σ_jΣ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1) 05/06 07:10
28F：→ yhliu : 这里必须令 k=n 时, n!/(n-k-1)! = 0, 因为它原型是 05/06 07:16
29F：→ yhliu : n(n-1)...(n-k). 05/06 07:16
30F：→ yhliu : ∴ Σ[k=j~n]n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)] 05/06 07:18
31F：→ yhliu : = n!/[(n-k)!n^k] 05/06 07:19
32F：→ yhliu : ∴Σk(k+1)n!/[(n-k)!n^(k+1)] = 05/06 07:20
33F：→ yhliu : 又写错... 05/06 07:22
34F：→ yhliu : Σ[k=j~n]{n!/[(n-k)!n^k]-n!/[(n-k-1)!n^(k+1)]} 05/06 07:23
35F：→ yhliu : = n!/[(n-j)!n^j] 05/06 07:24
36F：→ yhliu : ∴Σ[k=0~n](Σ[j≦k]1)(k+1)n!/[(n-k)!n^k] 05/06 07:25
37F：→ yhliu : = Σ[j=0~n] n!/[(n-j)!n^j] = wiki 的 1+Q(.) 05/06 07:26